Conditions Suffisantes pour un Extremum : Test de la Dérivée Seconde

Conditions Suffisantes pour un Extremum : Test de la Dérivée Seconde

Conditions Suffisantes pour les Extrema

La condition nécessaire du premier ordre (gradient nul) permet d’identifier les points critiques, qui sont les candidats aux extrémums locaux. Pour déterminer la nature de ces points, il faut une analyse d’ordre supérieur. Les conditions suffisantes du second ordre, basées sur la matrice Hessienne, fournissent un test décisif dans la plupart des cas.

1. Le Test de la Dérivée Seconde (Cas Général)

Le comportement d’une fonction $f$ au voisinage d’un point critique $a$ est déterminé par la forme quadratique associée à sa matrice Hessienne $H_f(a)$. Le signe de cette forme quadratique est lui-même déterminé par les signes des valeurs propres de $H_f(a)$.

Théorème : Conditions Suffisantes pour un Extremum Local

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction de classe C² et soit $a \in U$ un point critique de $f$ (i.e. $\nabla f(a) = \vec{0}$).
Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ les valeurs propres de la matrice Hessienne $H_f(a)$.

  • Si toutes les valeurs propres sont strictement positives ($\forall i, \lambda_i > 0$), alors $f$ admet un minimum local strict en $a$.
  • Si toutes les valeurs propres sont strictement négatives ($\forall i, \lambda_i < 0$), alors $f$ admet un maximum local strict en $a$.
  • Si certaines valeurs propres sont strictement positives et d’autres strictement négatives, alors $a$ est un point selle.
  • Si au moins une valeur propre est nulle et que les autres sont de même signe (ou nulles), le test est inconclusif.

2. Le Cas Pratique des Fonctions de Deux Variables

En dimension 2, le calcul des valeurs propres peut être évité. Pour une matrice $2 \times 2$, le signe des valeurs propres est directement lié au signe de son déterminant et de sa trace.
Soit $H_f(a) = \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}$, avec $A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a)$, $B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a)$, $C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a)$.
Le déterminant est $D = AC – B^2 = \lambda_1 \lambda_2$ et la trace est $T = A+C = \lambda_1 + \lambda_2$.

Critères de Classification en Dimension 2
  • Si $D > 0$ et $A > 0$, alors $\lambda_1, \lambda_2 > 0 \implies$ minimum local.
  • Si $D > 0$ et $A < 0$, alors $\lambda_1, \lambda_2 < 0 \implies$ maximum local.
  • Si $D < 0$, alors $\lambda_1, \lambda_2$ sont de signes opposés $\implies$ point selle.
  • Si $D = 0$, le test est inconclusif.

Exemple d’Application

Classifier les points critiques de la fonction $f(x,y) = x^2y + y^2 – 2y$.

  1. Points critiques : On résout $\nabla f(x,y) = (2xy, x^2+2y-2) = (0,0)$. $$ \begin{cases} 2xy = 0 & (1) \\ x^2+2y-2=0 & (2) \end{cases} $$ De (1), on a $x=0$ ou $y=0$.
    • Si $x=0$, (2) devient $2y-2=0 \implies y=1$. Point critique : (0,1).
    • Si $y=0$, (2) devient $x^2-2=0 \implies x=\pm\sqrt{2}$. Points critiques : ($\sqrt{2}$,0) et (-$\sqrt{2}$,0).
  2. Matrice Hessienne : $$ H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 2y & 2x \\ 2x & 2 \end{pmatrix} $$
  3. Classification :
    • Point (0,1) : $H_f(0,1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $D=4>0, A=2>0 \implies$ minimum local.
    • Point ($\sqrt{2}$,0) : $H_f(\sqrt{2},0) = \begin{pmatrix} 0 & 2\sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} & 2 \end{pmatrix}$. $D = 0 \cdot 2 – (2\sqrt{2})^2 = -8 < 0 \implies$ point selle.
    • Point (-$\sqrt{2}$,0) : $H_f(-\sqrt{2},0) = \begin{pmatrix} 0 & -2\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2} & 2 \end{pmatrix}$. $D = 0 \cdot 2 – (-2\sqrt{2})^2 = -8 < 0 \implies$ point selle.