Les Cônes du second degré constituent une classe fondamentale de surfaces quadriques dégénérées, caractérisées par l’existence d’un point singulier unique appelé sommet. Leur étude repose sur l’analyse des formes quadratiques homogènes dans l’espace affine euclidien $\mathbb{R}^3$.
Définition analytique et géométrique
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension 3. Un cône du second degré est l’ensemble des points $M$ vérifiant une équation cartésienne de la forme :
$$ Q(\vec{SM}) = 0 $$Où $S$ est un point fixe appelé sommet du cône, et $Q$ est une forme quadratique non nulle définie sur l’espace vectoriel associé. Cette définition implique que si un point $M$ appartient au cône, alors toute la droite $(SM)$ est incluse dans la surface.
Dans un repère orthonormé centré au sommet $S$, l’équation se réduit à une forme homogène de degré 2 en les coordonnées $(x,y,z)$ :
$$ Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = 0 $$L’absence de termes de degré 1 et de terme constant est la signature algébrique obligatoire d’un cône dont le sommet est à l’origine du repère.
Structure de surface réglée
Tout cône du second degré est une surface réglée. Par définition, il est engendré par une famille de droites passant toutes par le sommet $S$. Ces droites sont appelées génératrices du cône.
Soit $\Gamma$ une courbe plane ne passant pas par $S$, appelée courbe directrice. Le cône est la réunion des droites reliant $S$ aux points de $\Gamma$ :
$$ \mathcal{C} = \bigcup_{P \in \Gamma} (SP) $$Si la directrice $\Gamma$ est une conique (ellipse, hyperbole ou parabole), alors la surface engendrée est bien un cône du second degré. La nature de la conique directrice détermine la classification du cône.
Classification spectrale des Cônes du second degré
La classification rigoureuse dépend de la signature de la forme quadratique $Q$. Après réduction dans une base orthonormée de vecteurs propres, l’équation devient :
$$ \lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + \lambda_3 z^2 = 0 $$Nous supposons que le rang de la forme est 3 (cône non dégénéré). Les coefficients $\lambda_i$ sont non nuls. La nature géométrique dépend des signes relatifs de ces valeurs propres.
Cône elliptique réel
Le cône est elliptique lorsque deux valeurs propres ont le même signe et la troisième un signe opposé. Par exemple, $\lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0, \lambda_3 < 0$. L'équation canonique s'écrit :
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = 0 $$Les sections par les plans $z=k$ (avec $k \neq 0$) sont des ellipses homothétiques. Si $a=b$, le cône est de révolution autour de l’axe $(Oz)$.
Ce cône possède un seul point réel isolé si tous les $\lambda_i$ sont de même signe (cône imaginaire), mais dans le cas mixte, il forme une nappe unique connectée au sommet.
Cône hyperbolique et dégénérescences
Dans l’espace réel de dimension 3, la distinction entre cône « elliptique » et « hyperbolique » est moins marquée que pour les hyperboloïdes, car l’équation homogène $\sum \lambda_i x_i^2 = 0$ impose nécessairement des signes mixtes pour avoir des solutions non triviales.
Toutefois, on parle parfois de cône hyperbolique si la section par un plan spécifique donne une hyperbole. Cela correspond toujours à la forme canonique ci-dessus, car la section par un plan parallèle à l’axe $z$ donne :
$$ \frac{x^2}{a^2} – \frac{z^2}{c^2} = -\frac{y_0^2}{b^2} $$Qui est bien une hyperbole. Ainsi, tout cône quadrique réel non dégénéré admet à la fois des sections elliptiques et hyperboliques selon l’orientation du plan sécant.
Cas dégénérés : Plans et droites
Si le rang de la forme quadratique est inférieur à 3, le cône est dégénéré. Si le rang est 2, l’équation se factorise en deux plans sécants passant par le sommet :
$$ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 0 \iff \left(\frac{x}{a} – \frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right) = 0 $$Si le rang est 1, l’équation définit une droite double (l’axe du cône aplati). Ces cas limites doivent être identifiés avant toute analyse géométrique approfondie.
Théorème de la section plane
Une propriété centrale des Cônes du second degré concerne leur intersection avec un plan affine ne passant pas par le sommet. Cette intersection est toujours une conique.
Démonstration de la nature conique des sections
Preuve : Soit le cône d’équation homogène $Q(x,y,z) = 0$ dans un repère où le sommet est l’origine. Soit $\Pi$ un plan d’équation $ux + vy + wz = h$ avec $h \neq 0$.
Nous pouvons effectuer un changement de repère affine pour amener le plan $\Pi$ en équation $Z=1$ dans le nouveau repère $(X,Y,Z)$. Dans ce nouveau système, l’équation du cône reste une forme quadratique homogène :
$$ A’X^2 + B’Y^2 + C’Z^2 + 2D’XY + 2E’XZ + 2F’YZ = 0 $$L’intersection avec le plan $Z=1$ s’obtient en substituant $Z=1$ :
$$ A’X^2 + B’Y^2 + C’ + 2D’XY + 2E’X + 2F’Y = 0 $$Cette équation est polynomiale de degré 2 en $X$ et $Y$. Elle définit donc une conique dans le plan $\Pi$. La nature de cette conique (ellipse, parabole, hyperbole) dépend de la position du plan par rapport au cône asymptote. $\blacksquare$
Condition d’obtention d’une parabole
La section est une parabole si et seulement si le plan sécant est parallèle à une génératrice du cône. Géométriquement, cela signifie que le plan coupe le cône suivant une direction asymptotique unique.
Algébriquement, cela correspond à l’annulation du discriminant de la forme quadratique restreinte au plan. Le plan est alors tangent au cône à l’infini dans l’espace projectif.
Propriétés métriques et angulaires
L’étude des angles et des distances révèle des invariants importants pour les cônes de révolution, cas particulier fréquent en physique et en ingénierie.
Demi-angle au sommet
Pour un cône de révolution d’équation $x^2 + y^2 = k^2 z^2$, le demi-angle au sommet $\alpha$ est constant. Il vérifie la relation trigonométrique :
$$ \tan(\alpha) = k $$Toute génératrice fait un angle constant $\alpha$ avec l’axe de révolution. Cette propriété est utilisée en optique pour définir les champs de vision et les réflecteurs paraboliques ou coniques.
Courbure de Gauss
En tout point régulier $M$ d’un cône du second degré (distinct du sommet), la courbure de Gauss $K$ est nulle. En effet, le cône est une surface développable.
On peut dérouler isométriquement un cône sur un plan sans déformation. La preuve repose sur le fait que le plan tangent est constant le long d’une génératrice entière.
Cependant, au sommet $S$, la courbure n’est pas définie classiquement ; elle présente une singularité concentrée, analogue à une masse de Dirac en théorie des distributions géométriques.
Exemples concrets et calculs de réduction
Illustrons la théorie par des exemples numériques montrant comment identifier et réduire l’équation d’un cône.
Exemple 1 : Réduction d’une forme diagonale
Considérons la surface d’équation $3x^2 + 3y^2 – 4z^2 = 0$. Nous identifions immédiatement un cône de révolution car les coefficients de $x^2$ et $y^2$ sont égaux.
L’axe de révolution est l’axe $(Oz)$. Le demi-angle au sommet $\alpha$ vérifie :
$$ \frac{x^2 + y^2}{z^2} = \frac{4}{3} \implies \tan^2(\alpha) = \frac{4}{3} \implies \tan(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{3}} $$Les sections par les plans $z=k$ sont des cercles de rayon $R_k = |k| \frac{2}{\sqrt{3}}$. Ce cône est la limite d’une famille d’hyperboloïdes à une nappe lorsque le terme constant tend vers 0.
Exemple 2 : Cône non de révolution
Analysons l’équation $x^2 + 2y^2 – 3z^2 = 0$. Les coefficients sont distincts ($1, 2, -3$). Il s’agit d’un cône elliptique non de révolution.
Les sections par les plans $z=k$ sont des ellipses d’équation $\frac{x^2}{3k^2} + \frac{y^2}{1.5k^2} = 1$. Les rapports des axes restent constants quel que soit $k$, confirmant l’homothétie des sections.
Les plans $x=0$ et $y=0$ coupent le cône selon des paires de droites sécantes, révélant les traces principales de la surface.
Contre-exemple : Surface non conique
Considérons l’équation $x^2 + y^2 – z = 0$. Bien que contenant des termes du second degré, la présence du terme linéaire $-z$ empêche l’homogénéité.
Cette surface est un paraboloïde elliptique, et non un cône. Elle ne possède pas de sommet singulier au sens où aucune translation ne rend l’équation homogène. Toute section par un plan passant par l’origine n’est pas une paire de droites.
Application : Cône asymptote d’un hyperboloïde
Les Cônes du second degré apparaissent naturellement comme asymptotes des hyperboloïdes. Soit un hyperboloïde à une nappe d’équation :
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = 1 $$Le cône asymptote associé est obtenu en annulant le terme constant :
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = 0 $$À l’infini, l’hyperboloïde et son cône asymptote se confondent. La distance entre les deux surfaces tend vers zéro lorsque $\|(x,y,z)\| \to \infty$.
Ce lien permet d’étudier le comportement asymptotique des trajectoires en mécanique céleste ou des lignes de champ en électromagnétisme.
Conclusion synthétique
Les Cônes du second degré sont des objets géométriques essentiels, définis par l’homogénéité de leur équation quadratique. Leur classification dépend de la signature de la forme associée et de la nature de leurs sections planes.
Leur propriété de développabilité et leur rôle de cône asymptote pour les autres quadriques en font des outils indispensables pour la modélisation des surfaces complexes et l’analyse locale des singularités en géométrie différentielle.