Construction du Groupe Quotient
La construction d’un groupe quotient est l’une des idées les plus puissantes de la théorie des groupes. Elle permet de « simplifier » un groupe en identifiant certains de ses éléments. Pour que cette construction ait un sens, le sous-groupe par lequel on « quotiente » doit être distingué.
Soit $(G, \star)$ un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$. On considère l’ensemble des classes à gauche modulo $H$, noté $G/H = \{g \star H \mid g \in G\}$.
On définit sur l’ensemble quotient $G/H$ une loi de composition interne, notée $\bar{\star}$, de la manière suivante :
Pour toutes classes $\bar{g_1} = g_1 \star H$ et $\bar{g_2} = g_2 \star H$, leur composé est :
$$ \bar{g_1} \ \bar{\star} \ \bar{g_2} = \overline{g_1 \star g_2} = (g_1 \star g_2) \star H $$
Le fait que $H$ soit distingué est essentiel pour garantir que cette loi est bien définie (c’est-à-dire que le résultat ne dépend pas des représentants $g_1$ et $g_2$ choisis pour les classes).
Muni de cette loi, l’ensemble $(G/H, \bar{\star})$ est un groupe, appelé le groupe quotient de $G$ par $H$.
- Associativité : Elle est héritée de l’associativité de $G$.
- Élément neutre : L’élément neutre est la classe de $e_G$, c’est-à-dire le sous-groupe $H$ lui-même ($\bar{e} = e \star H = H$).
- Symétrique : Le symétrique de la classe $\bar{g} = g \star H$ est la classe du symétrique $\overline{g’} = g’ \star H$.
Exemples Fondamentaux
- Le groupe $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : Le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ est abélien, donc le sous-groupe $n\mathbb{Z}$ est distingué. Le groupe quotient $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ est le groupe des entiers modulo $n$. C’est l’exemple le plus important de groupe quotient.
- Quotient par le noyau : Soit $f: G \to H$ un morphisme. Le noyau $\ker(f)$ est un sous-groupe distingué de $G$. On peut donc former le groupe quotient $G/\ker(f)$. Le premier théorème d’isomorphisme nous apprend que ce groupe est isomorphe à l’image $\text{Im}(f)$.
- Exemple : Pour le morphisme $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$, le noyau est $SL_n(\mathbb{R})$. Le groupe quotient $GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})$ est isomorphe à $\text{Im}(\det) = \mathbb{R}^*$.