Continuité des Applications Linéaires
L’étude de la continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés est un cas particulier très important de la continuité topologique. Grâce à la structure linéaire, la continuité en un seul point (l’origine) suffit à garantir la continuité sur l’espace tout entier.
Soient $(E, \| \cdot \|_E)$ et $(F, \| \cdot \|_F)$ deux espaces vectoriels normés, et soit $u: E \to F$ une application linéaire. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $u$ est continue sur $E$.
- $u$ est continue en $0_E$.
- Il existe une constante $M > 0$ telle que pour tout $x \in E$, $\|u(x)\|_F \le M \|x\|_E$. (On dit que $u$ est bornée).
- L’image de la boule unité de $E$ est bornée dans $F$.
Cette équivalence est fondamentale : pour une application linéaire, continuité = continuité en 0 = être borné. C’est ce qui simplifie radicalement l’étude.
Si $u$ est une application linéaire continue, on appelle norme d’opérateur (ou norme subordonnée) le plus petit réel $M$ vérifiant l’inégalité ci-dessus. On la note $\|u\|$ et elle est donnée par : $$\|u\| = \sup_{x \in E, x \neq 0_E} \frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E} = \sup_{\|x\|_E=1} \|u(x)\|_F$$
Cas de la Dimension Finie
Une conséquence directe de l’équivalence des normes est la simplification spectaculaire de la situation en dimension finie.
Toute application linéaire d’un espace vectoriel normé de dimension finie dans un autre espace vectoriel normé est continue.
Contre-Exemple en Dimension Infinie
En dimension infinie, une application linéaire n’est pas nécessairement continue.
Considérons $E = \mathcal{C}^1([0, 1])$, l’espace des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$, muni de la norme $\|f\|_\infty = \sup |f(t)|$. Considérons $F = \mathcal{C}([0, 1])$ muni de la même norme.
Soit l’opérateur de dérivation $D: E \to F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f’$. $D$ est bien une application linéaire.
Cependant, $D$ n’est pas continue. Pour le voir, considérons la suite de fonctions $f_n(t) = t^n$.
- $\|f_n\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |t^n| = 1$.
- $D(f_n) = f’_n(t) = nt^{n-1}$.
- $\|D(f_n)\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |nt^{n-1}| = n$.
On ne peut pas trouver de constante $M$ telle que $\|D(f_n)\|_\infty \le M \|f_n\|_\infty$ (car on aurait $n \le M \cdot 1$, ce qui est impossible pour tout $n$). L’opérateur de dérivation n’est donc pas continu pour ces normes.