Définition de la Continuité
Une fonction est dite continue si elle ne présente pas de « saut ». De manière plus formelle, cela signifie que la limite de la fonction en un point coïncide avec la valeur de la fonction en ce point. La continuité est une propriété fondamentale qui garantit la préservation des structures topologiques comme la compacité et la connexité.
1. Définition de la Continuité en un Point
La définition de la continuité en un point est une spécialisation de la définition de la limite.
Soit $f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction et soit $a$ un point de $A$.
- On dit que $f$ est continue en $a$ si sa limite en $a$ existe et est égale à $f(a)$ : $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
- Avec la notation « epsilon-delta », cela s’écrit : $$ \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad \forall x \in A, \quad (\|x-a\|_p < \delta \implies \|f(x)-f(a)\|_n < \varepsilon) $$
- On dit que $f$ est continue sur l’ensemble $A$ si elle est continue en chaque point de $A$.
Encore une fois, la méthode la plus simple pour étudier la continuité est de passer par les fonctions composantes.
Une fonction $f = (f_1, \dots, f_n)$ est continue en un point $a$ (ou sur un ensemble $A$) si et seulement si chacune de ses fonctions composantes $f_i$ est continue en $a$ (ou sur $A$).
Exemple : Prolongement par Continuité
Considérons la fonction $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2+y^2}$, qui est définie sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$.
Cette fonction est continue sur son domaine de définition car c’est le quotient de deux fonctions polynomiales (qui sont continues), et le dénominateur ne s’annule pas sur ce domaine.
La question se pose au point $(0,0)$. Nous avons vu dans le chapitre précédent que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$.
On peut donc prolonger $f$ par continuité en $(0,0)$ en définissant une nouvelle fonction $\tilde{f}$ :
$$ \tilde{f}(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases} $$
Cette fonction $\tilde{f}$ est maintenant continue sur $\mathbb{R}^2$ tout entier.
2. Opérations sur les Fonctions Continues
Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition. De plus, la continuité est stable par les opérations algébriques et par composition.
- Combinaisons linéaires : Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $\lambda f + \mu g$ est continue en $a$.
- Produits : Si $f: A \to \mathbb{R}^n$ et $g: A \to \mathbb{R}^m$ sont continues en $a$, alors leur produit tensoriel est continu. Plus simplement, le produit scalaire $\langle f, g \rangle$ (si $n=m$) est continu. Le produit d’une fonction vectorielle par une fonction scalaire est continu.
- Quotient : Le quotient de deux fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s’annule pas.
- Composition : Si $f: A \subset \mathbb{R}^p \to B \subset \mathbb{R}^n$ est continue en $a$, et si $g: B \to \mathbb{R}^m$ est continue en $f(a)$, alors la fonction composée $g \circ f$ est continue en $a$.
3. Théorèmes Fondamentaux sur la Continuité
La continuité permet de « transporter » les propriétés topologiques de l’espace de départ vers l’espace d’arrivée.
- Image d’un compact : L’image d’une partie compacte par une fonction continue est une partie compacte.
- Image d’un connexe : L’image d’une partie connexe par une fonction continue est une partie connexe.
Ces deux théorèmes ont des conséquences extrêmement importantes en analyse.
- Théorème des bornes atteintes (ou de Weierstrass) : Une fonction continue sur un ensemble compact non vide à valeurs dans $\mathbb{R}$ est bornée et atteint ses bornes. C’est-à-dire qu’elle possède un maximum et un minimum globaux. C’est une conséquence directe du fait que l’image du compact est un compact de $\mathbb{R}$, donc un fermé borné.
- Théorème des valeurs intermédiaires : Si $f$ est une fonction continue sur un ensemble connexe $A$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, alors l’image $f(A)$ est un intervalle. Cela signifie que pour tous $u, v \in f(A)$, tout réel compris entre $u$ et $v$ est aussi dans $f(A)$.