Continuité et Image Réciproque d’Ouverts
La définition la plus fondamentale de la continuité dans le cadre de la topologie générale repose sur la notion d’ensemble ouvert. Une fonction est considérée comme continue si elle « respecte » la structure topologique de l’espace d’arrivée, ce que l’on formalise en examinant l’image réciproque des ouverts.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques.
Une fonction $f: X \to Y$ est dite continue si et seulement si pour tout ensemble ouvert $O$ de $Y$, son image réciproque $f^{-1}(O)$ est un ensemble ouvert de $X$. $$ f \text{ continue} \iff \forall O \in \mathcal{T}_Y, \; f^{-1}(O) \in \mathcal{T}_X $$
Remarques importantes
- Attention au sens : La définition porte sur l’image réciproque ($f^{-1}$) et non sur l’image directe ($f$). Une fonction continue n’envoie pas nécessairement un ouvert sur un ouvert. Une telle fonction est appelée une application ouverte.
- Globalité : Cette définition caractérise la continuité de la fonction sur tout son domaine de définition.
Il n’est pas nécessaire de vérifier la propriété pour tous les ouverts de l’espace d’arrivée. Il suffit de la vérifier pour les éléments d’une base de sa topologie.
Soit $\mathcal{B}$ une base de la topologie $\mathcal{T}_Y$. La fonction $f: X \to Y$ est continue si et seulement si pour tout ouvert $B$ de la base $\mathcal{B}$, l’ensemble $f^{-1}(B)$ est un ouvert de $X$. $$ f \text{ continue} \iff \forall B \in \mathcal{B}, \; f^{-1}(B) \in \mathcal{T}_X $$
Exemple : Continuité de $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$
Considérons $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$. Les deux espaces sont munis de la topologie usuelle. Une base de la topologie usuelle sur $\mathbb{R}$ est l’ensemble des intervalles ouverts $]a, b[$.
Pour montrer que $f$ est continue, nous devons montrer que l’image réciproque de tout intervalle ouvert $]a, b[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$.
- Si $b \le 0$, alors $f^{-1}(]a,b[) = \emptyset$, qui est un ouvert.
- Si $a < 0 < b$, alors $f^{-1}(]a,b[) = ]-\sqrt{b}, \sqrt{b}[$, qui est un ouvert.
- Si $0 \le a < b$, alors $f^{-1}(]a,b[) = ]-\sqrt{b}, -\sqrt{a}[ \cup ]\sqrt{a}, \sqrt{b}[$. C'est une union de deux ouverts, donc c'est un ouvert.
Dans tous les cas, l’image réciproque d’un ouvert de la base est un ouvert. La fonction $f(x) = x^2$ est donc bien continue sur $\mathbb{R}$.