Continuité des Fonctions Partielles
Pour simplifier l’étude d’une fonction de plusieurs variables $f(x_1, \dots, x_p)$, une approche naturelle consiste à fixer toutes les variables sauf une, et à étudier la fonction d’une seule variable restante. Ces fonctions sont appelées fonctions partielles. On peut alors se demander quel est le lien entre la continuité de ces fonctions partielles et la continuité de la fonction globale. La réponse est subtile et constitue un des pièges classiques de l’analyse à plusieurs variables.
1. Définition des Fonctions Partielles
Soit $f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction et soit $a=(a_1, \dots, a_p)$ un point de $A$.
Pour chaque $i \in \{1, \dots, p\}$, la $i$-ème fonction partielle de $f$ au point $a$ est la fonction d’une seule variable $f_{a,i}$ définie par :
$$ f_{a,i}(t) = f(a_1, \dots, a_{i-1}, t, a_{i+1}, \dots, a_p) $$
Cette fonction est définie pour les $t \in \mathbb{R}$ tels que le point $(a_1, \dots, t, \dots, a_p)$ appartienne à $A$.
Géométriquement, pour une fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dont le graphe est une surface, les fonctions partielles en un point $(a,b)$ correspondent aux « coupes » de cette surface par les plans verticaux d’équations $y=b$ et $x=a$.
On dit que la fonction $f$ est partiellement continue au point $a$ (ou continue par rapport à chaque variable) si toutes ses fonctions partielles $f_{a,i}$ sont continues au point $t=a_i$.
2. Le Piège Principal : Continuité $\neq$ Continuité Partielle
La relation entre les deux notions est à sens unique, ce qui est la source de nombreuses erreurs.
Si une fonction $f: A \to \mathbb{R}^n$ est continue en un point $a$, alors elle est partiellement continue en $a$.
La preuve est simple : la continuité globale implique la continuité le long de n’importe quel chemin, et en particulier le long des axes.
La réciproque est FAUSSE. Une fonction peut être continue par rapport à chacune de ses variables en un point sans être continue en ce point.
La continuité partielle signifie seulement que la fonction se comporte bien si on s’approche du point en suivant des chemins parallèles aux axes de coordonnées. La continuité globale exige que la fonction se comporte bien quelle que soit la direction d’approche (y compris les diagonales, les spirales, etc.).
Contre-Exemple Fondamental
Considérons la fonction déjà étudiée : $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases} $$
- Étude de la continuité partielle en (0,0) :
- Fonction partielle par rapport à $x$ : $f_{ (0,0), 1 }(t) = f(t,0)$. Pour $t \neq 0$, $f(t,0) = \frac{t \cdot 0}{t^2+0^2} = 0$. Et $f(0,0)=0$. Donc la fonction partielle $t \mapsto f(t,0)$ est la fonction nulle, qui est continue.
- Fonction partielle par rapport à $y$ : $f_{ (0,0), 2 }(t) = f(0,t)$. De même, $f(0,t) = 0$ pour tout $t$. C’est aussi une fonction continue.
- Étude de la continuité globale en (0,0) :
- Nous avons déjà montré que cette fonction n’est pas continue en $(0,0)$ car la limite dépend du chemin. Le long de la droite $y=x$, on a : $$ \lim_{x \to 0} f(x,x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2+x^2} = \frac{1}{2} $$ Cette limite ($1/2$) est différente de la valeur de la fonction au point d’étude ($f(0,0)=0$).