Continuité et Composition de Fonctions
Une propriété fondamentale et très utile en analyse est que la composition de deux fonctions continues est elle-même une fonction continue. Ce résultat permet de construire des fonctions continues complexes à partir de fonctions plus simples. La démonstration en topologie générale est particulièrement élégante.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$, $(Y, \mathcal{T}_Y)$ et $(Z, \mathcal{T}_Z)$ trois espaces topologiques.
Soient deux fonctions $f: X \to Y$ et $g: Y \to Z$.
Si $f$ est continue et $g$ est continue, alors leur composée $g \circ f: X \to Z$ est continue.
Démonstration
Pour montrer que $g \circ f$ est continue, nous devons prouver que l’image réciproque de tout ouvert de $Z$ par $g \circ f$ est un ouvert de $X$.
- Soit $O$ un ouvert quelconque de l’espace d’arrivée $Z$.
- Par définition, l’image réciproque de $O$ par la composée $g \circ f$ est : $$(g \circ f)^{-1}(O) = f^{-1}(g^{-1}(O))$$
- Puisque $g: Y \to Z$ est continue et que $O$ est un ouvert de $Z$, l’ensemble $g^{-1}(O)$ est un ouvert de $Y$. Notons cet ouvert $O’ = g^{-1}(O)$.
- L’expression devient alors $(g \circ f)^{-1}(O) = f^{-1}(O’)$.
- Puisque $f: X \to Y$ est continue et que $O’$ est un ouvert de $Y$, l’ensemble $f^{-1}(O’)$ est un ouvert de $X$.
Nous avons donc montré que pour tout ouvert $O$ de $Z$, son image réciproque $(g \circ f)^{-1}(O)$ est un ouvert de $X$. Ceci prouve que la fonction $g \circ f$ est continue.
Exemple d’Application
Considérons les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ et $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définies par $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = \sin(x)$.
- La fonction $f$ (polynomiale) est continue sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $g$ (sinus) est continue sur $\mathbb{R}$.
- D’après le théorème, la fonction composée $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sin(x^2 + 1)$ est continue sur $\mathbb{R}$.