Correspondance entre les Sous-Groupes
Les théorèmes d’isomorphisme ont une conséquence structurelle très importante, souvent appelée le théorème de correspondance. Il établit un lien direct et bijectif entre les sous-groupes du groupe quotient $G/N$ et les sous-groupes du groupe initial $G$ qui « contiennent » le sous-groupe distingué $N$.
Soit $G$ un groupe et $N$ un sous-groupe distingué de $G$. Soit $\pi: G \to G/N$ la surjection canonique.
L’application $\pi$ induit une bijection croissante entre l’ensemble des sous-groupes de $G$ contenant $N$ et l’ensemble des sous-groupes de $G/N$.
Cette correspondance préserve de plus les sous-groupes distingués.
Description de la Bijection
La correspondance fonctionne dans les deux sens :
- Sens direct : Si $H$ est un sous-groupe de $G$ tel que $N \subseteq H$, alors son image par la projection canonique, $\pi(H) = H/N$, est un sous-groupe de $G/N$.
- Sens réciproque : Si $\mathcal{H}$ est un sous-groupe du quotient $G/N$, alors son image réciproque par la projection canonique, $\pi^{-1}(\mathcal{H})$, est un sous-groupe de $G$ qui contient $N$.
Cette bijection signifie que la structure des sous-groupes du quotient est une copie exacte de la structure des sous-groupes de $G$ qui se trouvent « au-dessus » de $N$.
Application : Sous-groupes de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$
Cherchons tous les sous-groupes de $G/N = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.
- Ici, $G=\mathbb{Z}$ et $N=12\mathbb{Z}$.
- Le théorème nous dit que les sous-groupes de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ correspondent bijectivement aux sous-groupes de $\mathbb{Z}$ qui contiennent $12\mathbb{Z}$.
- Les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ sont de la forme $k\mathbb{Z}$. La condition $12\mathbb{Z} \subseteq k\mathbb{Z}$ signifie que $k$ doit être un diviseur de 12.
- Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Les sous-groupes de $\mathbb{Z}$ contenant $12\mathbb{Z}$ sont donc : $\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}, 3\mathbb{Z}, 4\mathbb{Z}, 6\mathbb{Z}, 12\mathbb{Z}$.
- Par correspondance, les sous-groupes de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ sont les images de ces derniers :
- $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (isomorphe à $\langle \bar{1} \rangle$)
- $2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (isomorphe à $\langle \bar{2} \rangle$)
- $3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (isomorphe à $\langle \bar{3} \rangle$)
- $4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (isomorphe à $\langle \bar{4} \rangle$)
- $6\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (isomorphe à $\langle \bar{6} \rangle$)
- $12\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ (le sous-groupe trivial $\{\bar{0}\}$)
On retrouve bien qu’il y a 6 sous-groupes, un pour chaque diviseur de 12.