Définition
Soient $f$ et $g$ deux applications définies sur un même sous-ensemble $I$ de $\mathbb{R}$. Lorsque la variable $t$ parcourt $I$, le point $M(t)$ de coordonnées $(f(t), g(t))$ décrit un sous-ensemble $(C)$ du plan.
- L’ensemble $(C)$ est appelé une courbe plane.
- L’application $M: t \mapsto M(t)$ est un paramétrage de la courbe $(C)$.
- Le système d’équations $\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}$ est une représentation paramétrique de $(C)$.
Plan d’étude d’une courbe paramétrée
Domaine de définition et dérivabilité
Le domaine de définition de la courbe, noté $D$, est l’intersection des domaines de définition des fonctions $x(t)$ et $y(t)$. On étudie ensuite la dérivabilité de ces fonctions sur $D$.
Réduction du domaine d’étude
On cherche à réduire l’intervalle d’étude en exploitant les symétries et les périodicités.
- Périodicité : Si $x(t)$ et $y(t)$ sont périodiques et admettent une plus petite période commune $T$, il suffit d’étudier la courbe sur un intervalle de longueur $T$, par exemple $[a, a+T[$.
- Symétries (Isométries) : On recherche des transformations sur le paramètre $t$ qui correspondent à des symétries géométriques simples pour le point $M(t)=(x(t), y(t))$. Par exemple, si changer $t$ en $-t$ transforme $(x(t), y(t))$ en $(x(t), -y(t))$, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
Étude des variations de x et y
On calcule les dérivées $x'(t)$ et $y'(t)$ et on étudie leurs signes pour déterminer les variations de $x$ et $y$. On rassemble ces informations dans un tableau de variations conjointes, qui permet d’esquisser la direction du mouvement du point $M(t)$.
Étude des branches infinies
On étudie le comportement de la courbe lorsque $t$ tend vers les bornes du domaine d’étude, ou vers un point où l’une des coordonnées tend vers l’infini.
- Asymptote horizontale : Si $\lim_{t \to t_0} x(t) = \pm\infty$ et $\lim_{t \to t_0} y(t) = y_0$ (fini), la droite d’équation $y=y_0$ est une asymptote.
- Asymptote verticale : Si $\lim_{t \to t_0} x(t) = x_0$ (fini) et $\lim_{t \to t_0} y(t) = \pm\infty$, la droite d’équation $x=x_0$ est une asymptote.
- Asymptote oblique : Si $x(t)$ et $y(t)$ tendent vers l’infini, on calcule $a = \lim_{t \to t_0} \frac{y(t)}{x(t)}$. Si $a$ est un réel fini non nul, on calcule $b = \lim_{t \to t_0} (y(t) – ax(t))$. Si $b$ est fini, la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique.
- Branche parabolique : Si $\lim \frac{y(t)}{x(t)}$ est 0 ou $\infty$, ou si cette limite est finie mais que $\lim(y(t)-ax(t))$ est infinie, on a une branche parabolique.
Étude des points particuliers
- Points stationnaires (ou singuliers) : Ce sont les points où le vecteur vitesse s’annule, c’est-à-dire où $x'(t)=0$ et $y'(t)=0$ simultanément.
- Points multiples : Ce sont les points où la courbe se recoupe. On les trouve en résolvant le système $x(t_1)=x(t_2)$ et $y(t_1)=y(t_2)$ pour $t_1 \neq t_2$.
Étude de la convexité
La convexité est donnée par le signe du déterminant formé par le vecteur vitesse $\vec{V}(t)=(x'(t), y'(t))$ et le vecteur accélération $\vec{A}(t)=(x »(t), y »(t))$.
Si $\det(\vec{V}(t), \vec{A}(t)) = x'(t)y »(t) – y'(t)x »(t) > 0$, la courbe tourne sa concavité « vers la gauche » par rapport au sens du mouvement. Si le déterminant est négatif, elle tourne « vers la droite ». Un changement de signe indique un point d’inflexion.
Traçage de la courbe
On synthétise toutes les informations précédentes (points remarquables, tangentes, asymptotes, tableau de variations) pour tracer l’allure de la courbe.
Exemples
Une étude complète
Étude de la courbe $x(t) = \frac{t^3}{t^2-1}$, $y(t) = \frac{t(3t-2)}{3(t-1)}$. Après une étude complète suivant le plan ci-dessus (calcul des dérivées, limites, asymptotes en $t \to \pm\infty$, $t \to 1$ et $t \to -1$), on obtient une courbe complexe avec plusieurs branches et trois asymptotes : $y=x+1/3$, $y=-5/6$ et $y=2/3x+1/2$.
Une courbe de Lissajous
Étude de la courbe $x(t) = \sin(2t)$, $y(t) = \sin(3t)$. L’étude des symétries et de la périodicité permet de réduire le domaine à $[0, \pi/2]$. La courbe est entièrement contenue dans le carré $[-1,1] \times [-1,1]$. L’étude des variations et des tangentes permet de tracer un arc fondamental, puis de reconstruire la courbe entière par symétries.
Le folium de Descartes
Une courbe peut aussi être définie par une équation cartésienne $f(x,y)=0$. Pour le folium de Descartes, d’équation $x^3+y^3-3axy=0$, on peut trouver une représentation paramétrique en coupant la courbe par la famille de droites $y=tx$ passant par l’origine. En substituant $y=tx$ dans l’équation, on isole $x$ et $y$ en fonction de $t$, ce qui donne la paramétrisation :
$$ x(t) = \frac{3at}{1+t^3}, \quad y(t) = \frac{3at^2}{1+t^3} $$ L’étude de cette représentation paramétrique permet de tracer la courbe.