La courbure moyenne est une grandeur intrinsèque fondamentale qui quantifie la déviation locale d’une surface par rapport à un plan, en faisant la moyenne des courbures principales. Elle joue un rôle central en géométrie différentielle, en physique théorique et dans l’étude des variétés riemanniennes.
Définition formelle et interprétation géométrique
Définition via les courbures principales
Soit $S$ une surface régulière plongée dans $\mathbb{R}^3$. En tout point $p \in S$, le théorème d’Euler garantit l’existence de deux directions orthogonales principales, correspondant aux valeurs extrêmes de la courbure sectionnelle. Ces valeurs sont les courbures principales, notées $\kappa_1(p)$ et $\kappa_2(p)$.
La courbure moyenne $H$ est définie en $p$ comme la moyenne arithmétique de ces deux courbures :
$$H(p) = \frac{\kappa_1(p) + \kappa_2(p)}{2}.$$
Alternativement, elle s’exrime via les valeurs propres de la forme fondamentale seconde. Si $\mathrm{II}$ est la forme fondamentale seconde et $\mathrm{I}$ la forme fondamentale première, alors $H = \frac{1}{2} \operatorname{trace}(\mathrm{I}^{-1}\mathrm{II})$.
Lien avec les équations de l’évolution de surface
En géométrie différentielle, la courbure moyenne est le terme principal de la vitesse normale dans le flot de courbure moyenne. Pour une famille de surfaces $S_t$ évoluant selon $\frac{\partial X}{\partial t} = – H \mathbf{N}$, où $\mathbf{N}$ est la normale unitaire, l’équation régit l’évolution de la surface. Ce flot est un outil puissant pour lisser les surfaces et trouver des formes minimales.
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Théorèmes et propriétés essentielles
Invariance par isométrie locale et minimalité
Théorème : Si $\phi : S \to \tilde{S}$ est une isométrie locale entre deux surfaces, alors la courbure moyenne est préservée : $H \circ \phi^{-1} = H$.
Preuve : Une isométrie locale préserve la forme fondamentale première $\mathrm{I}$. Par définition, $\mathrm{II}$ se transforme comme une (2,0)-tenseur. La relation $\mathrm{II} = H \mathrm{I}$ (au sens des formes quadratiques associées) montre que $H$, comme combinaison linéaire des composantes de $\mathrm{II}$ relativement à $\mathrm{I}$, est invariante. $lacksquare$
Corollaire : Une surface est minimale (surface d’aire minimale locale) si et seulement si sa courbure moyenne est nulle en tout point : $H \equiv 0$.
Relation avec la courbure gaussienne et le tenseur de Ricci
Connaissant $\kappa_1$ et $\kappa_2$, la courbure moyenne $H$ et la courbure gaussienne $K = \kappa_1 \kappa_2$ déterminent entièrement le système : $\kappa_{1,2} = H \pm \sqrt{H^2 – K}$. Ainsi, si $K$ est constante, les variations de $H$ contrôlent celles des $\kappa_i$.
En dimension supérieure, sur une variété riemannienne $(M,g)$ de dimension $n$, la courbure moyenne générale $\mathbf{H}$ est la trace (par rapport à $g$) du tenseur de Ricci : $\mathbf{H} = \operatorname{Ric}_g$. Pour une surface ($n=2$), cela se réduit à la définition précédente, car $\operatorname{Ric} = K g$ et la trace donne $2K$, mais la convention diffère souvent d’un facteur $1/(n-1)$. Il faut prêter attention aux normalisations.
Exemples concrets et contre-exemples
Surfaces de révolution
Considérons une surface de révolution engendrée par la courbe $(x(t), 0, z(t))$, $t \in I$, tournée autour de l’axe $z$. Les courbures principales sont :
$$\kappa_1 = \frac{z’ x » – x’ z »}{(x’^2 + z’^2)^{3/2}}, \quad \kappa_2 = \frac{z’}{x \sqrt{x’^2 + z’^2}}.$$
La courbure moyenne est $H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$. Par exemple, pour une sphère de rayon $R$, $\kappa_1 = \kappa_2 = 1/R$, donc $H = 1/R$.
Pour un cylindre droit de rayon $R$ (généré par une droite parallèle à $z$), on a $\kappa_1 = 0$ (courbure le long de la génératrice) et $\kappa_2 = 1/R$, d’où $H = 1/(2R)$. Le cylindre n’est donc pas minimal, bien que son bord géodésique le soit.
Surface minimale classique : la caténoïde
La caténoïde, surface de révolution engendrée par une chaînette $\cosh$, a pour équation $x^2 + y^2 = \cosh^2 z$. On calcule : $\kappa_1 = -\frac{1}{\cosh z}$, $\kappa_2 = \frac{1}{\cosh z}$, donc $H = 0$. Elle est ainsi un exemple fondamental de surface minimale non plane. La plaque plane a aussi $H=0$.
Contre-exemple : invariance sous isométrie locale ?
Considérons le cône régulier (sans son sommet) : c’est une surface développable. Localement (hors du sommet), il est isométrique à un plan. Un plan a $H=0$, mais le cône a, en un point non apical, $\kappa_1 = 0$ (le long de la génératrice) et $\kappa_2 = \frac{\sin \theta}{r}$ où $\theta$ est l’angle du cône et $r$ la distance à l’axe. Ainsi $H \neq 0$ en général.
Ceci ne contredit pas le théorème d’invariance car l’isométrie locale entre le plan et le cône n’est pas l’identité du plongement dans $\mathbb{R}^3$. La courbure moyenne dépend du plongement ; elle n’est pas une invariane de la métrique intrinsèque seule, contrairement à $K$. Seule $K$ est intrinsèque (théorème d’Egregium).
Interprétation variationnelle et lien avec la physique
L’énergie d’aire d’une surface $S$ est $A(S) = \int_S d\mu$. Une première variation montre que les points critiques de $A$ (sous variations compactes) satisfont $H=0$. La courbure moyenne apparaît donc comme le gradient de l’énergie d’aire.
En physique, une membrane élastique sans pression interne cherche à minimiser son aire, donc $H=0$. En présence d’une différence de pression $\Delta P$ (bulle de savon), l’équilibre impose la loi de Laplace : $2H = \Delta P / \gamma$, où $\gamma$ est la tension superficielle. La courbure moyenne est alors directement proportionnelle au saut de pression.
Conclusion et perspectives
La courbure moyenne $H$ est une quantité semi-locale qui mesure l’écart à la minimalité. Son étude rigoureuse,mêlant calcul extérieur, forme fondamentale seconde et équations aux dérivées partielles, ouvre la voie à des problèmes profonds comme l’existence et la régularité des surfaces minimales. Les liens avec la topologie via le théorème de Gauss-Bonnet (qui fait intervenir $K$, pas $H$ directement) et avec la relativité générale (où $\mathbf{H}$ apparaît dans les équations de mouvement des branes) en font un objet d’étude durable.
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