MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Dérivation et Étude des fonctions
Chapitre 2 : Analyse des Variations et Courbes
I. Dérivabilité en un point
1.1 Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$. On dit que $f$ est dérivable au point $x_0$ si :
Le nombre $l$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, noté $f'(x_0)$.
Soit $f(x) = 2x^2$. Étudions la dérivabilité en $x_0 = 1$ :
$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 – 2}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} 2(x+1) = 4$.
Donc $f$ est dérivable en 1 et $f'(1) = 4$.
1.2 Dérivabilité à droite et à gauche
Une fonction est dérivable en $x_0$ si elle est dérivable à droite ($f’_d(x_0)$) et à gauche ($f’_g(x_0)$) et que ces deux nombres sont égaux.
II. Interprétation Géométrique
Si $f$ est dérivable en $x_0$, la courbe $(C_f)$ admet une tangente $(T)$ au point $A(x_0, f(x_0))$ d’équation :
Pour $f(x) = 2x^2$ en $x_0 = 1$ avec $f(1)=2$ et $f'(1)=4$ :
$(T) : y = 4(x – 1) + 2 \Rightarrow y = 4x – 2$.
- Si $f'(x_0) = 0$, la tangente est horizontale ($y = f(x_0)$).
- Si la limite du taux d’accroissement est $\pm\infty$, on a une tangente verticale.
- Si $f’_d(x_0) \neq f’_g(x_0)$, le point est un point anguleux.
III. Dérivabilité sur un intervalle
Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$. La fonction qui à chaque $x$ associe $f'(x)$ est la fonction dérivée première.
IV. Opérations et Fonctions Usuelles
- $(u + v)’ = u’ + v’$
- $(u \times v)’ = u’v + uv’$
- $(\frac{1}{v})’ = -\frac{v’}{v^2}$
- $(\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$
- $(u^n)’ = n u^{n-1} u’$
$( \sin(ax+b) )’ = a \cos(ax+b)$.
$(\sqrt{f(x)})’ = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.
V. Dérivée de la Réciproque et Racines
Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ :
5.1 Cas des racines n-ièmes
- $(\sqrt[n]{x})’ = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$
- $(\sqrt[n]{f(x)})’ = \frac{1}{n} f'(x) [f(x)]^{\frac{1}{n}-1} = \frac{f'(x)}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}$
VI. Applications (Monotonie & Extremums)
- Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante.
- Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante.
- Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante.
Si $f’$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum local (maximum ou minimum).
VII. Concavité et Inflexion
- Si $f »(x) > 0$, la courbe est convexe (courbée vers le haut $\cup$).
- Si $f »(x) < 0$, la courbe est concave (courbée vers le bas $\cap$).
Si la dérivée seconde $f »$ s’annule en $x_0$ et change de signe, le point $A(x_0, f(x_0))$ est un point d’inflexion (la courbe traverse sa tangente).
VIII. Éléments de symétrie
- Axe de symétrie ($x=a$) : $\forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f$ et $f(2a-x) = f(x)$.
- Centre de symétrie $I(a, b)$ : $\forall x \in D_f, (2a-x) \in D_f$ et $f(2a-x) + f(x) = 2b$.
IX. Étude des Branches Infinies
Elles permettent de comprendre le comportement de la courbe aux bornes du domaine.
- Verticale : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ $\Rightarrow$ Droite $x = a$.
- Horizontale : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ $\Rightarrow$ Droite $y = b$.
- Oblique ($y=ax+b$) : $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (ax+b)] = 0$.
- Calculer $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$.
- Si $a \in \mathbb{R}^*$, calculer $b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – ax]$.
- Si $b \in \mathbb{R}$, alors $y = ax+b$ est asymptote.
- Si $\frac{f(x)}{x} \to \pm\infty$ : Direction l’axe des ordonnées.
- Si $\frac{f(x)}{x} \to 0$ : Direction l’axe des abscisses.
- Si $\frac{f(x)}{x} \to a$ et $[f(x)-ax] \to \pm\infty$ : Direction la droite $y=ax$.