I) CONCAVITÉ ; CONVEXITÉ ; POINTS D’INFLEXION
1) Activités
Soit la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2 + x\). Soit \(A(a, f(a))\) un point de sa courbe représentative.
- Déterminer l’équation de la tangente \((T_A)\) en A (en fonction de \(a\)).
- Soient P et M deux points ayant la même abscisse \(x\) et appartenant respectivement à \(C_f\) et \((T_A)\). Montrer que le signe de \(\overline{PM}\) est positif quel que soit la valeur de \(x\).
- Déterminer la dérivée seconde de \(f\).
1. \(f'(x) = 2x + 1\). L’équation de la tangente en A est : \(y = f'(a)(x-a) + f(a) = (2a+1)(x-a) + a^2+a = (2a+1)x – a^2\).
2. \(\overline{PM} = f(x) – y_{(T_A)} = (x^2+x) – [(2a+1)x – a^2] = x^2 – 2ax + a^2 = (x-a)^2\). Comme c’est un carré, \(\overline{PM} \ge 0\).
3. \(f »(x) = (2x+1)’ = 2\). La dérivée seconde est strictement positive.
Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = 2x^3 – 3x^2\).
- Déterminer les dérivées première et seconde de la fonction \(g\).
- Dresser le tableau de signe de \(g »(x)\).
- Étudier graphiquement la position relative de la courbe \(C_g\) par rapport à ses tangentes.
1. \(g'(x) = 6x^2 – 6x\) et \(g »(x) = 12x – 6\).
2. \(g »(x) = 0 \iff x = 1/2\). Signe négatif sur \(]-\infty, 1/2]\) et positif sur \([1/2, +\infty[\).
3. Sur \(]-\infty, 1/2]\), la courbe est au-dessous de ses tangentes (concave). Sur \([1/2, +\infty[\), elle est au-dessus (convexe). En \(1/2\), il y a un changement de concavité.
2) Définition et propriétés
Soit \(f\) une fonction dont la courbe représentative est \(C_f\).
- On dit que la courbe est convexe si elle se trouve au-dessus de toutes ses tangentes.
- On dit que la courbe est concave si elle se trouve au-dessous de toutes ses tangentes.
- Un point d’inflexion est un point où s’opère un changement de concavité de la courbe \(C_f\).
Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(C_f\) traverse sa tangente en A, alors le point A est un point d’inflexion.
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f »\) est positive sur \(I\), alors \(C_f\) est convexe sur \(I\).
- Si \(f »\) est négative sur \(I\), alors \(C_f\) est concave sur \(I\).
- Si \(f »\) s’annule en \(a\) en changeant de signe, alors \(C_f\) admet un point d’inflexion en \(A(a, f(a))\).
II) BRANCHES INFINIES
1) Asymptote verticale
Si la fonction \(f\) vérifie l’une des limites suivantes :
Alors, on dit que la droite d’équation \(\mathbf{x=a}\) est une asymptote verticale.
2) Asymptote horizontale
Si la fonction \(f\) vérifie l’une des limites suivantes :
Alors, on dit que la droite d’équation \(\mathbf{y=l}\) est une asymptote horizontale.
La position de la courbe \(C_f\) par rapport à son asymptote horizontale se détermine par le signe de \(f(x) – l\).
3) Asymptote oblique
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(+\infty\). On dit que la droite d’équation \(\mathbf{y = ax + b}\) (avec \(a \neq 0\)) est une asymptote oblique à \(C_f\) au voisinage de \(+\infty\) si :
La droite \(y = ax + b\) (\(a \neq 0\)) est une asymptote oblique si et seulement si :
4) Branches paraboliques
On parle de branche parabolique lorsque la courbe s’éloigne vers l’infini sans se rapprocher d’une droite précise.
- Direction (Oy) : Si \(\lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty\).
- Direction (Ox) : Si \(\lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\).
- Direction \(y = ax\) : Si \(\lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a\) (\(a \neq 0\)) et \(\lim_{x\rightarrow \pm\infty} [f(x) – ax] = \pm\infty\).
III) DEMI-TANGENTE VERTICALE
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \([a, a+r[\).
Si \(f\) est continue à droite de \(a\) et si :
Alors la courbe \(C_f\) admet une demi-tangente verticale à droite de \(a\).
Si la limite est \(+\infty\), la demi-tangente est dirigée vers le haut. Si c’est \(-\infty\), elle est dirigée vers le bas.
IV) ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE D’UNE COURBE
1) Axe de symétrie
La droite d’équation \(\mathbf{x = a}\) est un axe de symétrie de la courbe \(C_f\) si et seulement si :
2) Centre de symétrie
Le point \(\mathbf{\Omega(a, b)}\) est un centre de symétrie de la courbe \(C_f\) si et seulement si :
Soit \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) une fonction polynôme de degré 3.
Montrer que le point d’inflexion de \(C_f\) est son centre de symétrie.
Calculons les dérivées : \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) et \(f »(x) = 6ax + 2b\). Le point d’inflexion correspond à \(f »(x)=0\), soit \(x_I = -b/(3a)\). En posant \(a\) dans la formule du centre de symétrie, on vérifie l’égalité demandée.