LE MANUEL COMPLET – VERSION INTÉGRALE
Géométrie dans l’Espace
Solides, Volumes & Agrandissement – Niveau 3AC
1. Rappels sur les Solides Usuels
Avant d’aborder les pyramides et les cônes, rappelons les formules de base des solides « droits » vus les années précédentes.
Pour les solides droits (Prisme, Cylindre, Pavé), la formule est toujours :
Exemples :
- Cube d’arête $c$ : $V = c \times c \times c = c^3$.
- Pavé droit (L, l, h) : $V = L \times l \times h$.
- Cylindre (rayon $r$, hauteur $h$) : $V = (\pi \times r^2) \times h$.
2. La Pyramide : Définition et Volume
Une pyramide est un solide formé par une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point unique appelé le sommet.
Le volume d’une pyramide (comme pour le cône) est le tiers du volume du prisme correspondant.
Une pyramide a pour base un carré de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm.
- Aire de la base : $6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2$.
- Volume : $V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 12 \times 10 = 120 \text{ cm}^3$.
3. Le Cône de Révolution
Un cône de révolution est généré par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle droit.
Dans un cône, le rayon $r$, la hauteur $h$ et la génératrice $g$ forment un triangle rectangle.
4. La Sphère et la Boule
- La Sphère : C’est l’enveloppe (comme une bulle de savon). C’est une surface.
- La Boule : C’est l’intérieur (comme une bille ou la Terre). C’est un volume.
Pour une sphère de rayon $R$ :
5. Sections de Solides par un Plan
Que se passe-t-il si on coupe un solide avec un « couteau géant » (un plan) ?
5.1 Section d’un Pavé Droit
Par un plan parallèle à une face : On obtient un rectangle identique à cette face.
5.2 Section d’un Cylindre
Par un plan parallèle à la base : On obtient un disque de même rayon.
5.3 Section d’une Pyramide ou d’un Cône
Par un plan parallèle à la base : On obtient une figure réduite de la base (un petit carré ou un petit disque). Le solide du haut est une petite pyramide (ou petit cône). Le solide du bas est un tronc.
6. Agrandissement et Réduction (Coefficient k)
C’est la partie la plus importante pour les problèmes de brevet. Lorsqu’on coupe une pyramide ou un cône, on obtient une configuration de Thalès dans l’espace.
Le coefficient d’agrandissement ou de réduction $k$ est le rapport entre une longueur finale et une longueur initiale correspondante.
- Si $k < 1$ : C'est une Réduction.
- Si $k > 1$ : C’est un Agrandissement.
Une grande pyramide a une hauteur de 10 cm. On la coupe à 2 cm du sommet pour obtenir une petite pyramide.
La hauteur de la petite est 2 cm.
Coefficient de réduction : $k = \frac{h_{petite}}{h_{grande}} = \frac{2}{10} = 0,2$.
7. Effets sur les Aires et les Volumes
Si les longueurs sont multipliées par $k$, qu’arrive-t-il aux aires et aux volumes ? Attention, ce n’est pas $k$ !
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport $k$ ($k > 0$) :
- Les Longueurs sont multipliées par $k$.
- Les Aires sont multipliées par $k^2$.
- Les Volumes sont multipliés par $k^3$.
Reprenons notre pyramide réduite avec $k = 0,2$.
- Si l’aire de la base de la grande est $50 \text{ cm}^2$, l’aire de la petite base est :
$50 \times k^2 = 50 \times (0,2)^2 = 50 \times 0,04 = 2 \text{ cm}^2$. - Si le volume de la grande est $500 \text{ cm}^3$, le volume de la petite est :
$500 \times k^3 = 500 \times (0,2)^3 = 500 \times 0,008 = 4 \text{ cm}^3$.
8. Synthèse et Erreurs Fréquentes
- ⛔ Oubli du 1/3 : Calculer le volume d’une pyramide comme celui d’un prisme ($Base \times Hauteur$). C’est $\frac{1}{3} \times B \times h$ !
- ⛔ Confusion rayon/diamètre : Utiliser le diamètre dans la formule $\pi r^2$.
- ⛔ Erreur sur $k$ : Penser que si les longueurs sont divisées par 2, le volume est aussi divisé par 2. NON ! Il est divisé par $2^3 = 8$.