Cours Complet : Identités Remarquables (3AC)

LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES

Identités Remarquables

Calcul Littéral – Niveau 3AC

Table des Matières

1. Introduction au Calcul Littéral
2. Le Développement (Rappels)
3. Les Identités Remarquables (Le Cœur du Chapitre)
4. La Factorisation
5. Utiliser les Identités pour Factoriser
6. Applications et Calcul Mental
7. Synthèse et Erreurs Fréquentes

1. Introduction au Calcul Littéral

Le calcul littéral est l’art de calculer avec des lettres. Ces lettres remplacent des nombres inconnus ou variables. C’est le langage universel des mathématiques, développé notamment par le mathématicien François Viète au XVIe siècle, et avant lui par les savants arabes comme Al-Khwarizmi.

L’objectif principal est de transformer des expressions mathématiques pour les rendre plus simples ou plus utilisables (pour résoudre des équations par exemple).

VOCABULAIRE

Développer : C’est transformer un produit en une somme (ou différence).
Factoriser : C’est transformer une somme (ou différence) en un produit.
Réduire : C’est simplifier l’écriture en regroupant les termes de même nature (les $x^2$ avec les $x^2$, les nombres avec les nombres…).

2. Le Développement (Rappels)

Avant d’attaquer les identités remarquables, il faut maîtriser la distributivité simple et double.

2.1 La Distributivité Simple

Pour tous nombres $k, a, b$ :

$k(a + b) = ka + kb$

Exemple : $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$

2.2 La Double Distributivité

Pour tous nombres $a, b, c, d$ :

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple :

Développer $A = (x + 2)(x + 3)$

$A = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3$

$A = x^2 + 3x + 2x + 6$

$A = x^2 + 5x + 6$ (On a réduit en regroupant $3x$ et $2x$).

3. Les Identités Remarquables

Ce sont trois cas particuliers de double distributivité qu’il faut connaître par cœur. Elles permettent de calculer beaucoup plus vite.

3.1 Première Identité : Carré d’une Somme

IDENTITÉ N°1

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Démonstration : $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Exemple :

Développer $(x + 3)^2$ :

Ici $a = x$ et $b = 3$.
$a^2 = x^2$
$b^2 = 3^2 = 9$
$2ab = 2 \times x \times 3 = 6x$

Résultat : $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

3.2 Deuxième Identité : Carré d’une Différence

IDENTITÉ N°2

$(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$

ATTENTION AU SIGNE Seul le double produit ($2ab$) prend le signe moins. Le terme $b^2$ est toujours positif (car $(-b) \times (-b) = +b^2$).

Exemple :

Développer $(2x – 5)^2$ :

Ici $a = 2x$ et $b = 5$.
$a^2 = (2x)^2 = 4x^2$ (N’oubliez pas de mettre le 2 au carré !)
$b^2 = 5^2 = 25$
$2ab = 2 \times 2x \times 5 = 20x$

Résultat : $(2x – 5)^2 = 4x^2 – 20x + 25$.

3.3 Troisième Identité : Différence de deux Carrés

IDENTITÉ N°3

$(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$

C’est souvent la préférée des élèves car le double produit disparaît !

Exemple :

Développer $(x – 4)(x + 4)$ :

$(x – 4)(x + 4) = x^2 – 4^2 = x^2 – 16$.

4. La Factorisation

Factoriser, c’est l’opération inverse du développement. C’est très utile pour résoudre des équations du type $A(x) \times B(x) = 0$.

4.1 Méthode 1 : Le Facteur Commun

On cherche un nombre, une lettre ou une parenthèse qui est présent dans tous les termes de l’expression.

$ka + kb = k(a + b)$

Exemple Simple :

$A = 5x + 15$

On remarque que $15 = 5 \times 3$. Le facteur commun est 5.

$A = 5(x + 3)$.

Exemple Avancé (Parenthèse commune) :

$B = (x + 1)(2x – 3) + (x + 1)(5x + 4)$

Le facteur commun est $(x + 1)$.

$B = (x + 1) [ (2x – 3) + (5x + 4) ]$

$B = (x + 1) (2x – 3 + 5x + 4)$

$B = (x + 1)(7x + 1)$.

5. Utiliser les Identités pour Factoriser

Parfois, il n’y a pas de facteur commun apparent. Il faut alors reconnaître une identité remarquable (on lit la formule de droite à gauche).

5.1 Reconnaître $a^2 – b^2$

C’est le cas le plus fréquent au Brevet.

$a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$

Exemple :

Factoriser $C = x^2 – 49$.

On reconnaît $a^2 = x^2$ et $b^2 = 7^2$. Donc $a=x$ et $b=7$.

$C = (x – 7)(x + 7)$.

Exemple Difficile :

Factoriser $D = (x + 1)^2 – 9$.

Ici $a = (x+1)$ et $b = 3$.

$D = [ (x+1) – 3 ] [ (x+1) + 3 ]$

$D = (x – 2)(x + 4)$.

5.2 Reconnaître $a^2 + 2ab + b^2$

Exemple :

Factoriser $E = x^2 + 10x + 25$.

On voit $x^2$ et $25$ ($5^2$). On vérifie le milieu : $2 \times x \times 5 = 10x$. Ça marche !

$E = (x + 5)^2$.

6. Applications et Calcul Mental

Les identités remarquables permettent de faire des tours de magie en calcul mental.

ASTUCE CALCUL MENTAL

Comment calculer $101^2$ sans calculatrice ?

$101^2 = (100 + 1)^2$

$= 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2$

$= 10000 + 200 + 1 = 10201$.

Comment calculer $99^2$ ?

$99^2 = (100 – 1)^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801$.

Comment calculer $48 \times 52$ ?

$48 \times 52 = (50 – 2)(50 + 2)$

$= 50^2 – 2^2 = 2500 – 4 = 2496$.

7. Synthèse et Erreurs Fréquentes

MUSÉE DES HORREURS (À NE JAMAIS FAIRE)

⛔ L’oubli du double produit : $(x + 5)^2 = x^2 + 25$.
Correction : C’est $x^2 + 10x + 25$.
⛔ Erreur de signe : $-(x + 3) = -x + 3$.
Correction : Le signe moins devant une parenthèse change TOUS les signes à l’intérieur : $-x – 3$.
⛔ Confusion Carré/Addition : $x^2 + x^2 = x^4$.
Correction : $x^2 + x^2 = 2x^2$. C’est une addition, pas une multiplication.
⛔ Factorisation incomplète : $4x^2 + 2x = 2(2x^2 + x)$.
Correction : On peut factoriser par $2x$ : $2x(2x + 1)$.