Cours Complet : Les Puissances (3AC)

LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES

Les Puissances

Arithmétique – Niveau 3AC

Table des Matières

1. Définition d’une Puissance
2. Signe d’une Puissance
3. Règles de Calcul (Opérations)
4. Les Puissances de 10
5. La Notation Scientifique
6. Synthèse et Erreurs Fréquentes

1. Définition d’une Puissance

Les puissances servent à écrire de manière concise un produit de plusieurs facteurs identiques. C’est une notation essentielle en sciences pour manipuler des nombres très grands (astronomie) ou très petits (biologie cellulaire).

1.1 Exposant Positif

DÉFINITION

Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier positif ($n \ge 1$).
On note $a^n$ (lire « a exposant n ») le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.

$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fois}}$

Cas particuliers :

$a^1 = a$
$a^0 = 1$ (pour tout $a \neq 0$)

Exemples :

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
$2023^0 = 1$

1.2 Exposant Négatif

DÉFINITION

Si $n$ est un entier positif, alors $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$.

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \underbrace{\frac{1}{a \times a \times \dots \times a}}_{n \text{ fois}}$

Exemples :

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0,125$

2. Signe d’une Puissance

Il est crucial de savoir déterminer le signe d’une puissance sans faire le calcul complet. Cela dépend du signe de la base ($a$) et de la parité de l’exposant ($n$).

RÈGLE DES SIGNES

Si la base $a$ est positive, alors $a^n$ est toujours POSITIF.
Si la base $a$ est négative :
- Si l’exposant $n$ est PAIR, le résultat est POSITIF.
- Si l’exposant $n$ est IMPAIR, le résultat est NÉGATIF.

ATTENTION AUX PARENTHÈSES

Il ne faut pas confondre $(-3)^2$ et $-3^2$.

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ (Le signe moins est au carré).
$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ (Seul le 3 est au carré, le signe moins est devant).

3. Règles de Calcul (Opérations)

Ces formules permettent de simplifier les expressions contenant des puissances. Elles sont valables pour tous nombres réels non nuls $a$ et $b$, et pour tous entiers relatifs $n$ et $m$.

3.1 Produit de puissances de même base

$a^n \times a^m = a^{n+m}$

$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

3.2 Quotient de puissances de même base

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

$\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4$
$\frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2}$

3.3 Puissance d’une puissance

$(a^n)^m = a^{n \times m}$

$(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$

3.4 Produit de puissances de même exposant

$a^n \times b^n = (a \times b)^n$

$2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3 = 1000$

4. Les Puissances de 10

Les puissances de 10 sont très simples à utiliser car elles correspondent à des décalages de virgule ou à des ajouts de zéros.

4.1 Définition

$10^n = 1 \underbrace{00\dots0}_{n \text{ zéros}}$ (pour $n > 0$)
$10^{-n} = \underbrace{0,00\dots01}_{n \text{ zéros au total}}$ (dont 1 avant la virgule)

$10^3 = 1000$ (3 zéros)
$10^{-3} = 0,001$ (3 zéros au total, ou 3 chiffres après la virgule)

4.2 Calcul avec les puissances de 10

Les règles générales s’appliquent :

$10^n \times 10^m = 10^{n+m}$
$\frac{10^n}{10^m} = 10^{n-m}$

5. La Notation Scientifique

C’est une norme internationale pour écrire les nombres très grands ou très petits de manière standardisée.

DÉFINITION

L’écriture scientifique d’un nombre décimal est de la forme :

$a \times 10^n$

Où :

$a$ est un nombre décimal tel que $1 \le a < 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule).
$n$ est un entier relatif.

Méthode de conversion :

Exemple 1 : Écrire $45 \ 000$ en notation scientifique.

On place la virgule après le premier chiffre non nul : $4,5$.
On compte de combien de rangs on a déplacé la virgule depuis la droite. Ici, 4 rangs vers la gauche.
L’exposant est positif.
Résultat : $4,5 \times 10^4$.

Exemple 2 : Écrire $0,0072$ en notation scientifique.

On place la virgule après le premier chiffre non nul : $7,2$.
On compte le décalage : 3 rangs vers la droite pour retrouver le nombre original (ou depuis l’original vers le 7,2).
L’exposant est négatif car le nombre est petit.
Résultat : $7,2 \times 10^{-3}$.

6. Synthèse et Erreurs Fréquentes

MUSÉE DES HORREURS (À NE JAMAIS FAIRE)

⛔ Confusion Addition/Produit : $2^3 + 2^4 = 2^7$.
Correction : Faux ! Il n’y a pas de formule pour l’addition. On calcule séparément : $8 + 16 = 24$.
⛔ Erreur de signe : $(-5)^2 = -25$.
Correction : Le carré d’un nombre négatif est positif : $(-5)^2 = 25$.
⛔ Puissance de puissance : $(10^2)^3 = 10^5$.
Correction : On multiplie les exposants : $10^{2 \times 3} = 10^6$.
⛔ Notation scientifique : $12 \times 10^5$ est une notation scientifique.
Correction : Non, car $12 \ge 10$. Il faut écrire $1,2 \times 10^6$.