1. Introduction et Contexte Historique

La notion de racine carrée est l’une des pierres angulaires de l’algèbre et de la géométrie au collège. Avant d’être un symbole sur votre calculatrice, la racine carrée est née d’un problème concret : comment trouver le côté d’un carré quand on connaît son aire ?

Historiquement, les Babyloniens (vers 1800 av. J.-C.) savaient déjà approximer la racine carrée de 2 avec une précision remarquable. Ils utilisaient des tablettes d’argile pour répertorier ces nombres. Plus tard, les Grecs, avec l’école de Pythagore, ont découvert avec effroi que la racine carrée de 2 n’était pas un nombre rationnel (on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction). C’était la découverte des nombres irrationnels.

Le symbole $\sqrt{}$ que nous utilisons aujourd’hui a été introduit bien plus tard, au XVIe siècle, par le mathématicien allemand Christoph Rudolff. Il s’agit en réalité d’une déformation de la lettre r (pour radix en latin, qui signifie « racine »).

2. Approche Géométrique : Le Carré

Pour bien comprendre la racine carrée, il faut revenir à la géométrie.

Imaginez un carré.

• Si son côté mesure $3$ cm, son aire est $3 \times 3 = 3^2 = 9$ cm².
• Si son côté mesure $5$ cm, son aire est $5 \times 5 = 5^2 = 25$ cm².

Si je possède un carré dont l’aire est de $2$ cm², combien mesure son côté ?
Je cherche un nombre positif $c$ tel que $c \times c = 2$.
Il n’y a pas d’entier qui fonctionne ($1 \times 1 = 1$ et $2 \times 2 = 4$).
Il n’y a pas non plus de nombre décimal simple.
Ce nombre existe pourtant (le carré existe bien !), on l’appelle la racine carrée de 2, notée $\sqrt{2}$.

Retenez ceci : La racine carrée d’un nombre positif $a$, c’est la longueur du côté d’un carré dont l’aire serait $a$.

3. Définition Rigoureuse de la Racine Carrée

3.1 Définition

3.2 La Condition d’Existence (Domaine de définition)

• $\sqrt{9}$ existe car 9 est positif.
• $\sqrt{-4}$ N’EXISTE PAS dans l’ensemble des nombres réels. Pourquoi ? Parce qu’il n’existe aucun nombre réel qui, multiplié par lui-même, donne un résultat négatif.

3.3 Vocabulaire

Dans l’écriture $\sqrt{a}$ :

• Le symbole $\sqrt{}$ s’appelle le radical.
• Le nombre $a$ situé sous le radical s’appelle le radicande.

3.4 Cas particuliers

• $\sqrt{0} = 0$ car $0^2 = 0$.
• $\sqrt{1} = 1$ car $1^2 = 1$.

3.5 Les Carrés Parfaits

Il est indispensable de connaître par cœur les racines carrées des carrés parfaits :

4. La Racine Carrée d’un Carré

4.1 La Propriété

4.2 Le cas délicat : $\sqrt{a^2}$ avec $a$ négatif

Que vaut $\sqrt{(-5)^2}$ ? Attention à ne pas répondre $-5$.

Calculons d’abord ce qui est sous la racine : $(-5)^2 = 25$.
Donc $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

On constate que $\sqrt{(-5)^2} = 5$ (qui est l’opposé de -5).

4.3 Distinction importante

Il ne faut pas confondre :

1. $(\sqrt{x})^2$ : Cette écriture n’a de sens que si $x \ge 0$. Si c’est le cas, le résultat est $x$.
2. $\sqrt{x^2}$ : Cette écriture a du sens pour tout $x$ (même négatif), car le carré rend le nombre positif. Le résultat est toujours positif.

5. Opérations sur les Racines Carrées : La Multiplication

C’est l’une des propriétés les plus agréables des racines carrées : elles s’entendent très bien avec la multiplication.

5.1 La Règle du Produit

5.2 Démonstration

Pour prouver que deux nombres positifs $A$ et $B$ sont égaux, il suffit de prouver que $A^2 = B^2$.

• Calculons le carré du membre de gauche : $(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b$.
• Calculons le carré du membre de droite : $(\sqrt{a \times b})^2 = a \times b$.

Les carrés sont égaux, donc les nombres sont égaux. CQFD.

5.3 Exemples d’application (Sens direct)

5.4 Sens inverse : Décomposition

La règle se lit aussi dans l’autre sens : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. C’est fondamental pour la simplification.

6. Opérations sur les Racines Carrées : La Division

Tout comme la multiplication, la racine carrée est « compatible » avec la division.

6.1 La Règle du Quotient

6.2 Exemples

7. Le Piège Mortel : L’Addition et la Soustraction

7.1 Preuve par l’exemple (Contre-exemple)

Prenons $a = 9$ et $b = 16$.

• Calculons le membre de gauche : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
• Calculons le membre de droite : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
• Conclusion : $5 \neq 7$.

7.2 Comment calculer alors ?

Si on a $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, on ne peut généralement pas simplifier davantage, sauf si on peut factoriser par une racine commune.

8. Techniques de Simplification Avancées ($a\sqrt{b}$)

L’objectif est d’écrire une racine carrée sous la forme $a\sqrt{b}$ où $b$ est l’entier le plus petit possible.

8.1 La Méthode du Carré Parfait

L’idée est de trouver, dans le radicande, le plus grand facteur qui est un carré parfait ($4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$).

8.2 Exemples Classiques à Connaître

• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
• $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
• $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$
• $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
• $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
• $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
• $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}$

8.3 Simplifier une somme de racines

9. Rendre Rationnel un Dénominateur

Il est d’usage de ne pas laisser de racine carrée au dénominateur.

9.1 Cas Simple : Radical unique

On multiplie le numérateur et le dénominateur par la racine présente en bas.

9.2 Cas Complexe : L’Expression Conjuguée

Forme $\frac{a}{b + \sqrt{c}}$. On utilise l’identité remarquable $(A+B)(A-B) = A^2 – B^2$.

10. Résolution de l’Équation \(x^2 = a\)

10.1 Les Trois Cas

11. Applications Mathématiques et Géométriques

11.1 Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

11.2 La Diagonale d’un Carré

11.3 La Hauteur d’un Triangle Équilatéral

12. Synthèse et Erreurs Fréquentes