LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES
Ordre et Opérations
Algèbre & Inégalités – Niveau 3AC
1. Comparaison de deux nombres réels
Comparer deux nombres $a$ et $b$, c’est dire si $a < b$, $a > b$ ou $a = b$.
Parfois, il est difficile de comparer directement (exemple : $\frac{4}{7}$ et $\frac{5}{9}$). La méthode universelle est l’étude du signe de la différence.
Pour comparer deux nombres $a$ et $b$, on calcule la différence $a – b$ :
- Si $a – b > 0$, alors $a > b$.
- Si $a – b < 0$, alors $a < b$.
- Si $a – b = 0$, alors $a = b$.
Comparer $A = \frac{7}{3}$ et $B = \frac{5}{2}$.
Calculons la différence : $A – B = \frac{7}{3} – \frac{5}{2} = \frac{14}{6} – \frac{15}{6} = -\frac{1}{6}$.
Le résultat est négatif ($-\frac{1}{6} < 0$).
Donc $A – B < 0$, ce qui signifie que $A < B$.
2. Ordre et Addition (La règle simple)
L’addition (et la soustraction) est une opération « gentille » qui ne perturbe jamais l’ordre.
On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute (ou soustrait) le même nombre aux deux membres.
- Si $x \le 5$, alors $x + 2 \le 5 + 2$ donc $x + 2 \le 7$.
- Si $x \ge -3$, alors $x – 10 \ge -3 – 10$ donc $x – 10 \ge -13$.
On peut additionner deux inégalités de même sens membre à membre.
Si $a \le b$ et $c \le d$, alors $a + c \le b + d$.
3. Ordre et Multiplication (La règle dangereuse)
C’est ici que se trouve le piège principal du chapitre. La multiplication n’agit pas toujours de la même façon.
Si on multiplie (ou divise) par un nombre strictement positif, on CONSERVE l’ordre.
Si $a \le b$ et $k > 0$, alors $k \times a \le k \times b$.
Si on multiplie (ou divise) par un nombre strictement négatif, on CHANGE le sens de l’inégalité.
Si $a \le b$ et $k < 0$, alors $k \times a \ge k \times b$.
Soit l’inégalité : $3 < 5$.
- Multiplions par 2 (positif) : $3 \times 2 < 5 \times 2 \Rightarrow 6 < 10$. (L'ordre est conservé).
- Multiplions par -2 (négatif) : $3 \times (-2) \dots 5 \times (-2) \Rightarrow -6 \dots -10$.
- On sait que $-6 > -10$. Donc l’ordre a changé !
4. Ordre, Carrés et Racines
Ces propriétés servent souvent à comparer des nombres contenant des racines carrées.
Pour des nombres positifs $a$ et $b$ :
- $a \le b$ équivaut à $a^2 \le b^2$.
- $a \le b$ équivaut à $\sqrt{a} \le \sqrt{b}$.
L’ordre est conservé car les fonctions carré et racine carrée sont croissantes sur les positifs.
Comparer $3\sqrt{2}$ et $2\sqrt{3}$.
Comme ce sont des nombres positifs, comparons leurs carrés :
- $(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$
- $(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$
Comme $18 > 12$, alors $(3\sqrt{2})^2 > (2\sqrt{3})^2$.
Conclusion : $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$.
5. L’Encadrement
Encadrer un nombre $x$, c’est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \le x \le b$.
La valeur $b – a$ s’appelle l’amplitude de l’encadrement.
6. Opérations sur les Encadrements
Voici les règles strictes pour combiner des encadrements. Supposons que :
6.1 Addition (Facile)
On peut additionner les encadrements :
6.2 Multiplication (Attention aux signes)
Si tous les nombres sont positifs ($a, b, c, d > 0$), on peut multiplier :
Note : Si les nombres ne sont pas tous positifs, c’est plus complexe (il faut revenir aux règles de signes), mais au collège, on se ramène souvent au cas positif.
6.3 Opposé (Multiplication par -1)
Pour encadrer $-x$, on multiplie tout par -1, donc on change l’ordre.
Si $a \le x \le b$, alors :
On croise les bornes !
6.4 Inverse
Pour des nombres de même signe (tous positifs par exemple), le passage à l’inverse change l’ordre.
Si $a \le x \le b$ (avec $a > 0$), alors :
6.5 Soustraction (INTERDIT DE SOUSTRAIRE DIRECTEMENT)
Pour encadrer $x – y$, on ne fait JAMAIS $(a-c) \le (x-y) \le (b-d)$. C’est faux.
La méthode : Transformer la soustraction en addition.
$x – y = x + (-y)$.
- On encadre $-y$ (en croisant les bornes de $y$).
- On additionne l’encadrement de $x$ et l’encadrement de $-y$.
On a : $10 \le x \le 12$ et $3 \le y \le 5$.
- Encadrons $-y$ :
$-5 \le -y \le -3$ (On multiplie par -1 et on inverse). - Additionnons avec $x$ :
$10 + (-5) \le x + (-y) \le 12 + (-3)$
$5 \le x – y \le 9$.
7. Synthèse et Erreurs Fréquentes
- ⛔ Soustraire les inégalités : $10 \le x \le 12$ et $3 \le y \le 5 \Rightarrow 7 \le x-y \le 7$.
Correction : Faux ! Voir l’exemple ci-dessus, le résultat est entre 5 et 9. - ⛔ Diviser les inégalités : $\frac{a}{c} \le \frac{x}{y} \le \frac{b}{d}$.
Correction : Faux ! Il faut multiplier par l’inverse ($\frac{1}{y}$). - ⛔ Oublier de changer le sens : $-2x < 10 \Rightarrow x < -5$.
Correction : On a divisé par -2, donc $x > -5$.