LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES
Le Théorème de Thalès
Géométrie – Niveau 3AC
1. Histoire et Principe Général
Thalès de Milet (VIe siècle av. J.-C.) est considéré comme le premier mathématicien de l’histoire. La légende raconte qu’il a réussi à calculer la hauteur de la grande pyramide de Khéops en mesurant simplement son ombre, à l’aide d’un bâton (le gnomon).
Le principe repose sur la proportionnalité dans les triangles. Si on agrandit ou réduit un triangle, les angles sont conservés, mais les longueurs changent tout en gardant les mêmes proportions.
2. Les Configurations de Thalès
Il existe trois façons principales de voir le théorème de Thalès. Il est crucial de savoir les reconnaître.
Pour appliquer le théorème, il faut toujours :
- Deux droites sécantes en un point (ici le point A).
- Deux droites parallèles (ici $(MN) // (BC)$).
- Des points alignés dans le même ordre.
3. Le Théorème Direct (Calcul de longueurs)
Ce théorème sert à calculer une longueur manquante lorsque l’on connaît les autres et que l’on sait que les droites sont parallèles.
Soient deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les rapports suivants sont égaux :
Astuce mnémotechnique : Petit triangle / Grand triangle (ou l’inverse).
Partez toujours du point d’intersection (le sommet commun, ici A) pour les deux premiers rapports :
- $\frac{\text{Côté du petit triangle}}{\text{Côté correspondant du grand}} = \frac{AM}{AB}$
- $\frac{\text{Autre côté du petit}}{\text{Autre côté du grand}} = \frac{AN}{AC}$
- Le dernier rapport concerne les parallèles (sans le point A) : $\frac{MN}{BC}$.
4. Méthode : Rédiger le Théorème Direct
La rédaction est aussi importante que le calcul. Voici le modèle type à suivre au Brevet.
Énoncé : Soit un triangle $ABC$ avec $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$.
On sait que $(MN) // (BC)$.
$AB = 8$ cm, $AM = 2$ cm, $BC = 10$ cm. Calculer $MN$.
Rédaction :
- Les hypothèses :
- Les points A, M, B sont alignés.
- Les points A, N, C sont alignés.
- Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
- Le théorème :
D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité des rapports : $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$ - Le remplacement numérique : $$\frac{2}{8} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{10}$$
- Le calcul (Produit en croix) :
On utilise $\frac{2}{8} = \frac{MN}{10}$. $$MN = \frac{2 \times 10}{8} = \frac{20}{8} = 2,5 \text{ cm}$$
5. La Réciproque du Théorème (Prouver le parallélisme)
La réciproque sert à vérifier ou démontrer que deux droites sont parallèles.
Soient les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part, alignés dans le même ordre.
Si :
Alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Pour utiliser la réciproque, on ne pose pas l’égalité au début ! On calcule les deux rapports SÉPARÉMENT.
On donne : $AM = 2$, $AB = 6$, $AN = 3$, $AC = 9$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
- On calcule le premier rapport : $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
- On calcule le deuxième rapport : $\frac{AN}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
- On compare : On constate que $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$.
- Conclusion : Comme les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Et si les rapports ne sont pas égaux ?
C’est la Contraposée du théorème de Thalès. Si $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$, alors les droites ne sont pas parallèles.
6. Synthèse et Erreurs Fréquentes
- Je veux calculer une longueur et je sais que c’est parallèle $\rightarrow$ Théorème Direct.
- Je veux prouver que c’est parallèle et je connais les longueurs $\rightarrow$ Réciproque.
- ⛔ Oublier de mentionner que les points sont alignés.
- ⛔ Mélanger les triangles dans les rapports (exemple : $\frac{AM}{AB} = \frac{BC}{MN}$). Il faut toujours Petit/Grand ou Grand/Petit, mais pas un mélange.
- ⛔ Utiliser Thalès quand les droites ne sont pas parallèles (sans le prouver).