LE MANUEL MAGISTRAL – RÉFÉRENCE ABSOLUE
Le Barycentre dans le Plan
Géométrie Vectorielle & Pondérée – Niveau 1Bac SM
- I. Origines et Signification Physique
- II. Barycentre de Deux Points Pondérés
- III. Barycentre de Trois Points et Plus
- IV. Propriété Fondamentale de Réduction
- V. Associativité du Barycentre
- VI. Coordonnées du Barycentre
- VII. Applications : Problèmes d’Alignement et de Concours
- VIII. Lignes de Niveau et Lieux Géométriques
- IX. Synthèse et Points de Vigilance
I. Origines et Signification Physique
La notion de barycentre trouve son origine dans la physique statique, étudiée par Archimède de Syracuse (IIIe siècle av. J.-C.). Il cherchait le point d’équilibre (centre de gravité) d’un système de masses.
Si deux masses $m_1$ et $m_2$ sont placées aux extrémités d’une barre rigide sans masse (levier), le point d’équilibre $G$ vérifie la loi des leviers : $m_1 \cdot GA = m_2 \cdot GB$ (distances). En version vectorielle, cela devient $m_1 \vec{GA} + m_2 \vec{GB} = \vec{0}$.
En mathématiques, on généralise cette notion en acceptant des « masses » (coefficients) négatives, ce qui n’a pas de sens physique immédiat mais offre une puissance de calcul géométrique redoutable.
II. Barycentre de Deux Points Pondérés
Un point pondéré est un couple $(A, \alpha)$ où $A$ est un point du plan et $\alpha$ un réel appelé coefficient ou poids.
Un système de deux points pondérés est noté $\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}$.
Soient $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ deux points pondérés tels que la somme des coefficients soit non nulle : $\alpha + \beta \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ du plan tel que :
Ce point $G$ est appelé le barycentre des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$.
On note $G = \text{Bar}\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}$.
2.1 Construction Géométrique
Pour construire $G$, on utilise la relation de Chasles pour exprimer $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$.
$\alpha \vec{GA} + \beta \vec{GB} = \vec{0}$
$\iff \alpha \vec{GA} + \beta (\vec{GA} + \vec{AB}) = \vec{0}$
$\iff (\alpha + \beta) \vec{GA} + \beta \vec{AB} = \vec{0}$
$\iff (\alpha + \beta) \vec{AG} = \beta \vec{AB}$
2.2 Propriété d’Homogénéité
Le barycentre ne change pas si l’on multiplie ou divise tous les coefficients par un même réel non nul $k$.
Exemple : $\text{Bar}\{(A, 2) ; (B, 4)\} = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 2)\}$.
Ceci permet de simplifier les calculs.
III. Barycentre de Trois Points et Plus
La définition s’étend naturellement à $n$ points, sous la condition que la somme des poids soit non nulle ($\sum \alpha_i \neq 0$).
Le barycentre $G$ de $\{(A, \alpha) ; (B, \beta) ; (C, \gamma)\}$ est l’unique point vérifiant :
Cas particulier : L’Isobarycentre
Si tous les coefficients sont égaux (par exemple égaux à 1), $G$ est appelé isobarycentre.
- Pour 2 points : C’est le milieu du segment $[AB]$.
- Pour 3 points : C’est le centre de gravité du triangle $ABC$ (intersection des médianes).
IV. Propriété Fondamentale de Réduction
C’est l’outil le plus puissant pour les exercices de lieux géométriques et de calcul vectoriel.
Soit $G$ le barycentre du système $\{(A_i, \alpha_i)\}$. Pour tout point $M$ du plan, on a :
Exemple pour 2 points : $\alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} = (\alpha + \beta) \vec{MG}$.
V. Associativité du Barycentre
Cette propriété permet de réduire un problème complexe (3 ou 4 points) à une succession de problèmes simples (2 points).
On ne change pas le barycentre d’un système si l’on remplace un sous-ensemble de points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids (à condition que cette somme soit non nulle).
Soit $G = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 2)\}$.
- On regroupe $A$ et $B$. Soit $I = \text{Bar}\{(A, 1) ; (B, 1)\}$. Comme les poids sont égaux, $I$ est le milieu de $[AB]$. Le poids de $I$ sera $1+1=2$.
- Le problème se réduit à trouver $G = \text{Bar}\{(I, 2) ; (C, 2)\}$.
- Comme les poids sont encore égaux (2 et 2), $G$ est le milieu de $[IC]$.
Conclusion géométrique : Le barycentre se trouve sur la médiane issue de $C$.
VI. Coordonnées du Barycentre
Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, les coordonnées $(x_G, y_G)$ de $G$ sont les moyennes pondérées des coordonnées des points.
VII. Applications : Problèmes d’Alignement et de Concours
Pour montrer que trois points $A, B, C$ sont alignés :
- On peut montrer que $C$ est le barycentre de $\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}$.
- Cela implique que $\vec{AC}$ est colinéaire à $\vec{AB}$, donc les points sont alignés.
Pour montrer que trois droites $(AI), (BJ), (CK)$ sont concourantes :
- On définit un point $G$ comme barycentre de $A, B, C$ avec des coefficients bien choisis.
- On utilise l’associativité pour montrer que $G \in (AI)$, puis $G \in (BJ)$, puis $G \in (CK)$.
- Donc $G$ est le point d’intersection commun.
VIII. Lignes de Niveau et Lieux Géométriques
Le barycentre simplifie les expressions vectorielles normées.
Soit $G = \text{Bar}\{(A, \alpha) ; (B, \beta)\}$.
L’expression devient $||\ (\alpha+\beta) \vec{MG} \ || = k$.
Soit $|\alpha+\beta| \times MG = k$, donc $MG = \frac{k}{|\alpha+\beta|} = R$.
L’ensemble des points $M$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $R$.
IX. Synthèse et Pièges Classiques
- ⛔ Ne jamais oublier la condition $\sum \alpha_i \neq 0$. Si la somme est nulle, le barycentre n’existe pas (le vecteur résultant est constant et indépendant de M).
- ⛔ Dans la formule $\vec{AG} = \frac{\beta}{\alpha+\beta}\vec{AB}$, le coefficient au numérateur est celui du point d’arrivée B (« On va vers B avec la force de B »).
- ⛔ L’associativité ne s’applique que si la somme des poids partiels est non nulle.