LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE
Angles Inscrits & Angles au Centre
Géométrie du Cercle – Niveau 3AC
1. Rappels : Vocabulaire du Cercle
Avant d’étudier les angles, il est fondamental de maîtriser le vocabulaire du cercle pour comprendre ce que signifie « intercepter un arc ».
- Corde : Segment reliant deux points du cercle (ici $[AB]$).
- Arc de cercle : Portion du cercle comprise entre deux points (ici en rouge). On le note $\overset{\frown}{AB}$.
- Intercepter : On dit qu’un angle « intercepte » un arc s’il « mange » ou « renferme » cet arc entre ses côtés.
2. L’Angle au Centre
C’est l’angle le plus simple à définir : son sommet est le « chef » du cercle.
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Exemple : Si $O$ est le centre du cercle et $A, B$ deux points du cercle, alors $\widehat{AOB}$ est un angle au centre.
On dit qu’il intercepte l’arc $\overset{\frown}{AB}$.
La mesure en degrés de l’arc $\overset{\frown}{AB}$ est égale à la mesure de l’angle au centre $\widehat{AOB}$.
Si l’angle $\widehat{AOB} = 80^\circ$, alors l’arc fait $80^\circ$ (sur les $360^\circ$ du cercle complet).
3. L’Angle Inscrit
C’est l’acteur principal de ce chapitre. Son sommet est « inscrit » sur le cercle.
Un angle inscrit est un angle dont :
- Le sommet appartient au cercle (le point $M$).
- Les côtés coupent le cercle (en $A$ et $B$).
On dit que l’angle inscrit $\widehat{AMB}$ intercepte l’arc $\overset{\frown}{AB}$.
4. Théorème de l’Angle au Centre
Il existe un lien magique (un facteur 2) entre l’angle inscrit et l’angle au centre qui regardent le même arc.
Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors la mesure de l’angle au centre est le DOUBLE de celle de l’angle inscrit.
Ou inversement : $\widehat{AMB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB}$.
Si l’angle au centre $\widehat{AOB} = 100^\circ$, alors n’importe quel angle inscrit $\widehat{AMB}$ qui intercepte le même arc mesurera $50^\circ$.
5. Théorème des Angles Inscrits
C’est une conséquence directe du théorème précédent. Si tous les angles inscrits valent la moitié de l’angle au centre, alors ils sont tous égaux entre eux !
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
6. Cas Particuliers Importants
6.1 Le Triangle Rectangle (Théorème de Thalès version Cercle)
Si $[AB]$ est un diamètre du cercle (l’angle au centre est plat, $180^\circ$), alors tout angle inscrit $\widehat{AMB}$ intercepte un demi-cercle.
Sa mesure est donc : $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Tout triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle.
6.2 Les Angles Opposés (Quadrilatère inscriptible)
Si $M$ et $N$ sont de part et d’autre de la corde $[AB]$, ils n’interceptent pas le même arc (l’un intercepte le petit, l’autre le grand).
La somme de leurs mesures vaut $180^\circ$. On dit qu’ils sont supplémentaires.
7. Exercices Types Corrigés
Énoncé : Soit un cercle. $A, B, C, D$ sont quatre points sur ce cercle dans cet ordre. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $P$.
Montrer que le triangle $PAB$ est semblable au triangle $PDC$.
Solution :
- Observons les angles $\widehat{ABD}$ (ou $\widehat{ABP}$) et $\widehat{ACD}$ (ou $\widehat{PCD}$).
Ils sont inscrits et interceptent tous les deux l’arc $\overset{\frown}{AD}$.
Donc $\widehat{ABP} = \widehat{PCD}$. - De même, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BDC}$ interceptent l’arc $\overset{\frown}{BC}$.
Donc $\widehat{BAC} = \widehat{BDC}$. - Les triangles $PAB$ et $PDC$ ont deux paires d’angles égaux, donc ils sont semblables.
8. Le Musée des Horreurs (Erreurs à éviter)
- ⛔ Dire que $\widehat{AOB} = \widehat{AMB}$ (Confondre angle au centre et angle inscrit).
Correction : L’angle au centre est deux fois plus grand. - ⛔ Utiliser le théorème si le sommet $M$ n’est pas SUR le cercle.
Correction : Si $M$ est à l’intérieur ou à l’extérieur, ce n’est pas un angle inscrit. - ⛔ Oublier de préciser « interceptent le même arc ».
Correction : C’est la condition obligatoire pour que les angles soient égaux.