Cours Enrichi : Équation d’une Droite (3AC)

Cours Enrichi : Équation d’une Droite (3AC)

LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE

L’Équation d’une Droite

Géométrie Analytique – Niveau 3AC

Plan Détaillé du Cours

1. Définition et Forme Réduite

Dans un repère, toute droite (sauf les droites verticales) peut être représentée par une relation entre l’abscisse $x$ et l’ordonnée $y$ de ses points.

ÉQUATION RÉDUITE

L’équation réduite d’une droite $(D)$ est de la forme :

$y = ax + b$

Où :

  • $a$ est le Coefficient Directeur (ou la pente). Il indique l’inclinaison de la droite.
  • $b$ est l’Ordonnée à l’Origine. C’est la valeur de $y$ quand $x = 0$ (là où la droite coupe l’axe vertical).

Note : On trouve parfois la notation $y = mx + p$. C’est exactement la même chose !

2. Interprétation Graphique

Pour bien comprendre, visualisons ces deux coefficients.

O x y b (Ordonnée à l’origine) avance de 1 monte de a
SENS DE VARIATION
  • Si $a > 0$, la droite « monte » (fonction croissante).
  • Si $a < 0$, la droite "descend" (fonction décroissante).
  • Si $a = 0$, la droite est horizontale ($y = b$).

3. Appartenance d’un point à une droite

Comment savoir si un point $A(x_A ; y_A)$ est situé sur la droite d’équation $y = ax + b$ ?

MÉTHODE DE VÉRIFICATION

Un point $A$ appartient à la droite $(D)$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.

  1. On remplace $x$ par $x_A$ dans la partie droite de l’équation ($ax_A + b$).
  2. On calcule le résultat.
  3. On regarde si ce résultat est égal à $y_A$.
    • Si oui : $A \in (D)$.
    • Si non : $A \notin (D)$.
Exemple

Soit $(D) : y = 2x – 3$. Le point $A(4 ; 5)$ est-il sur $(D)$ ?

Calculons $2x_A – 3$ :
$2 \times 4 – 3 = 8 – 3 = 5$.
On constate que le résultat est bien égal à $y_A$ (qui vaut 5).
Conclusion : Le point A appartient à la droite $(D)$.

4. Comment tracer une droite ?

Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points.

MÉTHODE DU TABLEAU DE VALEURS

Soit la droite $(D) : y = 2x – 1$.

  1. On choisit une valeur pour $x$ (au hasard, mais simple, ex: 0).
    Si $x = 0$, alors $y = 2 \times 0 – 1 = -1$. $\rightarrow$ Point $A(0 ; -1)$.
  2. On choisit une autre valeur pour $x$ (ex: 2).
    Si $x = 2$, alors $y = 2 \times 2 – 1 = 3$. $\rightarrow$ Point $B(2 ; 3)$.
  3. On place les points A et B dans le repère et on trace la droite qui passe par eux.

5. Déterminer l’équation d’une droite

C’est l’exercice classique : on vous donne deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, trouvez l’équation de la droite $(AB)$.

ÉTAPE 1 : CALCULER LE COEFFICIENT $a$

La formule de la pente est :

$a = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}$

Astuce : Différence des ordonnées sur Différence des abscisses (« Monter sur Avancer »).

ÉTAPE 2 : CALCULER L’ORDONNÉE À L’ORIGINE $b$
  1. On sait maintenant que l’équation est $y = ax + b$ (on connaît $a$).
  2. On utilise le fait que $A$ appartient à la droite : $y_A = a \times x_A + b$.
  3. On remplace $y_A, a, x_A$ par leurs valeurs.
  4. On résout la petite équation pour trouver $b$.
Exemple Complet

Trouver l’équation de la droite passant par $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 8)$.

  1. Calcul de $a$ :
    $a = \frac{8 – 2}{3 – 1} = \frac{6}{2} = 3$.
    L’équation est de la forme $y = 3x + b$.
  2. Calcul de $b$ :
    Le point $A(1 ; 2)$ est sur la droite, donc :
    $2 = 3 \times 1 + b$
    $2 = 3 + b$
    $b = 2 – 3 = -1$.
  3. Conclusion : L’équation est $y = 3x – 1$.

6. Cas Particuliers (Droites Verticales)

ATTENTION

Si deux points ont la même abscisse (ex: $A(2 ; 3)$ et $B(2 ; 7)$), on ne peut pas calculer $a$ car on diviserait par zéro ($x_B – x_A = 0$).

Dans ce cas, la droite est verticale.

Son équation n’est pas $y = …$ mais :

$x = k$

(Exemple : $x = 2$). Ce n’est pas une fonction.

7. Positions Relatives (Parallèles/Perpendiculaires)

Comment savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires juste en regardant leurs équations ?

Soient $(D) : y = ax + b$ et $(D’) : y = a’x + b’$.

CONDITION DE PARALLÉLISME

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

$(D) // (D’) \iff a = a’$
CONDITION DE PERPENDICULARITÉ

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.

$(D) \perp (D’) \iff a \times a’ = -1$

8. Exercices Types Corrigés

Exercice : Perpendiculaire passant par un point

Soit $(D)$ d’équation $y = 2x + 1$. Déterminer l’équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à $(D)$ passant par $A(4 ; 0)$.

Solution :

  1. Coefficient directeur de $(D)$ : $a = 2$.
  2. Soit $a’$ le coefficient de $(\Delta)$. Comme les droites sont perpendiculaires :
    $a \times a’ = -1 \Rightarrow 2 \times a’ = -1 \Rightarrow a’ = -0,5$.
    Donc $(\Delta) : y = -0,5x + b$.
  3. On cherche $b$ sachant que $A(4 ; 0) \in (\Delta)$ :
    $0 = -0,5 \times 4 + b$
    $0 = -2 + b$
    $b = 2$.
  4. Résultat : $(\Delta) : y = -0,5x + 2$.

Fin du Cours Enrichi – Équation d’une Droite – Niveau 3ème Année Collège