LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE
Équations & Inéquations
Algèbre & Résolution de Problèmes – Niveau 3AC
1. Qu’est-ce qu’une équation ?
Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs lettres appelées inconnues. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
Exemple : Dans $2x + 3 = 11$, l’inconnue est $x$. Si je remplace $x$ par 4, on a $2 \times 4 + 3 = 11$. C’est vrai. Donc 4 est la solution.
2. Techniques de Résolution
Pour résoudre une équation du type $ax + b = cx + d$, le but est d’isoler $x$. Pour cela, on utilise le principe de la balance : « Ce que je fais à gauche, je dois le faire à droite. »
- Regrouper : Mettre tous les termes en $x$ d’un côté (généralement à gauche) et tous les nombres de l’autre.
Astuce : Quand on change un terme de côté, on change son signe. - Réduire : Calculer les sommes de chaque côté. On obtient $ax = b$.
- Diviser : Diviser les deux membres par le coefficient de $x$ (le nombre $a$).
Attention : On ne change pas le signe en divisant.
Résoudre : $5x – 3 = 2x + 9$
- Je regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite :
$5x \mathbf{- 2x} = 9 \mathbf{+ 3}$ (Le $+2x$ devient $-2x$, le $-3$ devient $+3$). - Je réduis :
$3x = 12$. - Je divise par 3 :
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$. - Conclusion : La solution de l’équation est 4.
3. Équations complexes (Produits et Fractions)
3.1 L’Équation Produit-Nul
C’est un type d’équation très fréquent au brevet, souvent issu d’une factorisation.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.
$(2x – 4)(x + 3) = 0$
Cela signifie que :
Soit $2x – 4 = 0$ Soit $x + 3 = 0$
$2x = 4$ $x = -3$
$x = 2$
Les solutions sont 2 et -3.
3.2 Équations avec Dénominateurs
Si l’équation contient des fractions, la première étape est de tout mettre au même dénominateur, puis de supprimer les dénominateurs.
$\frac{x}{3} + \frac{x-1}{2} = 1$
Le dénominateur commun est 6.
$\frac{2x}{6} + \frac{3(x-1)}{6} = \frac{6}{6}$
On multiplie tout par 6 (on « raye » les dénominateurs) :
$2x + 3(x-1) = 6$
$2x + 3x – 3 = 6$
$5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5} = 1,8$.
4. La Mise en Équation de Problèmes
C’est l’application concrète des mathématiques. Pour réussir un problème, il faut suivre un protocole strict.
- Choix de l’inconnue : Définir clairement ce que représente $x$. (« Soit $x$ le prix de… »)
- Mise en équation : Traduire les phrases du texte en langage mathématique.
- Résolution : Résoudre l’équation trouvée.
- Conclusion : Faire une phrase réponse en français qui interprète le résultat (et vérifier si c’est cohérent !).
Énoncé : Un père a 40 ans et son fils a 10 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le double de celui du fils ?
- Inconnue : Soit $x$ le nombre d’années à attendre.
- Mise en équation :
- Dans $x$ années, le père aura $40 + x$ ans.
- Dans $x$ années, le fils aura $10 + x$ ans.
- On veut : Âge Père = $2 \times$ Âge Fils.
- Équation : $40 + x = 2(10 + x)$.
- Résolution :
$40 + x = 20 + 2x$
$x – 2x = 20 – 40$
$-x = -20$
$x = 20$. - Conclusion : Dans 20 ans, le père aura 60 ans et le fils 30 ans. C’est bien le double.
5. Les Inéquations du 1er Degré
Une inéquation est une inégalité ($<, >, \le, \ge$) qui contient une inconnue. La résolution est presque identique aux équations, avec UNE exception majeure.
Quand on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre NÉGATIF, on doit CHANGER LE SENS de l’inégalité.
Exemple : $-2x < 10 \Rightarrow x > \frac{10}{-2} \Rightarrow x > -5$.
6. Représentation Graphique des Solutions
Contrairement à une équation qui a souvent une solution unique, une inéquation a une infinité de solutions (toute une zone de nombres).
- Si le crochet « regarde » les solutions (la couleur), le nombre est inclus ($\le$ ou $\ge$).
- Si le crochet « tourne le dos » aux solutions, le nombre est exclus ($<$ ou $>$).
7. Exercices Types Corrigés
Résoudre et représenter : $3x – 5 > 5x + 7$.
Solution :
$3x – 5x > 7 + 5$
$-2x > 12$
Je divise par -2, donc j’inverse le sens :
$x < \frac{12}{-2}$
$x < -6$.
Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à -6.
8. Le Musée des Horreurs (Erreurs à éviter)
- ⛔ Signe « = » : Écrire $3x – 5 = 10 \Rightarrow 3x = 5$.
Correction : Quand on déplace -5, il devient +5. $3x = 15$. - ⛔ Division : $3x = 12 \Rightarrow x = 12 – 3$.
Correction : Entre 3 et $x$, c’est une multiplication. L’inverse est la division. $x = 12/3$. - ⛔ Inéquation : Oublier de changer le sens quand on divise par un nombre négatif. C’est la faute la plus grave en inéquations !