Systèmes de 2 Équations à 2 Inconnues

Algèbre & Géométrie Analytique – Niveau 3AC

Plan Détaillé du Cours

Un système de deux équations à deux inconnues (généralement $x$ et $y$) se présente sous la forme :

$ (S) \begin{cases} ax + by = c \\ a’x + b’y = c’ \end{cases} $

SOLUTION

Résoudre ce système, c’est trouver tous les couples de nombres $(x ; y)$ qui vérifient SIMULTANÉMENT les deux équations.

Vérification

Le couple $(2 ; 1)$ est-il solution du système $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x – y = 3 \end{cases}$ ?

Conclusion : Oui, $(2 ; 1)$ est la solution du système.

Cette méthode est idéale quand l’une des inconnues a un coefficient de 1 ou -1 (ex: $x$ ou $-y$).

PRINCIPE

On isole une inconnue dans l’une des équations (ex: $y = \dots$).
On substitue (remplace) cette expression dans l’autre équation.
On résout l’équation obtenue (qui n’a plus qu’une seule inconnue).
On remplace la valeur trouvée dans la première expression pour trouver la deuxième inconnue.

Exemple Détaillé

Résoudre $\begin{cases} x + 2y = 8 \quad (L1) \\ 3x – y = 3 \quad (L2) \end{cases}$

Isoler : Dans $(L1)$, on isole $x$ car son coefficient est 1.
$x = 8 – 2y$.
Substituer : On remplace $x$ dans $(L2)$ :
$3(8 – 2y) – y = 3$.
Résoudre :
$24 – 6y – y = 3$
$24 – 7y = 3$
$-7y = 3 – 24 = -21$
$y = \frac{-21}{-7} = 3$.
Trouver l’autre : On reprend $x = 8 – 2y$ avec $y=3$.
$x = 8 – 2 \times 3 = 8 – 6 = 2$.

Solution : Le couple $(2 ; 3)$.

Aussi appelée méthode par addition. Elle est plus rapide quand les coefficients sont compliqués.

PRINCIPE

On multiplie chaque équation par un nombre judicieux pour que les coefficients d’une inconnue deviennent OPPOSÉS (ex: $5x$ et $-5x$).
On additionne les deux équations membre à membre. L’inconnue visée disparaît (élimination).
On résout l’équation restante.
On remplace la valeur trouvée dans l’une des équations de départ.

Exemple Détaillé

Résoudre $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \quad (L1) \\ 3x – 2y = 4 \quad (L2) \end{cases}$

On veut éliminer $y$. Les coefficients sont $3$ et $-2$. Le PPCM est 6. On veut obtenir $6y$ et $-6y$.

On multiplie $(L1)$ par 2 et $(L2)$ par 3 :
$\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 9x – 6y = 12 \end{cases}$
On additionne :
$(4x + 9x) + (6y – 6y) = 14 + 12$
$13x = 26$.
On trouve $x$ :
$x = \frac{26}{13} = 2$.
On remplace $x=2$ dans $(L1)$ :
$2 \times 2 + 3y = 7$
$4 + 3y = 7$
$3y = 3 \Rightarrow y = 1$.

Solution : Le couple $(2 ; 1)$.

Chaque équation du système ($ax + by = c$) peut être transformée en équation de droite ($y = mx + p$).

LIEN GÉOMÉTRIQUE

Résoudre le système revient à trouver les coordonnées du point d’intersection des deux droites représentées par les équations.

Beaucoup de problèmes de la vie courante se résolvent par un système.

MÉTHODOLOGIE

Choix des inconnues : « Soit $x$ le nombre de… et $y$ le nombre de… »
Mise en équation : Traduire les deux informations du texte en deux équations.
Résolution : Utiliser la méthode de substitution ou de combinaison.
Conclusion : Répondre à la question posée avec une phrase en français.

Le Problème des Têtes et des Pattes

Dans une ferme, il y a des poules et des lapins. J’ai compté 10 têtes et 28 pattes. Combien y a-t-il d’animaux de chaque sorte ?

Soit $x$ le nombre de poules et $y$ le nombre de lapins.
Total têtes : $x + y = 10$.
Total pattes : Une poule a 2 pattes, un lapin en a 4.
$2x + 4y = 28$.
Système : $\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + 4y = 28 \end{cases}$
De la 1ère, $x = 10 – y$.
Substitution : $2(10 – y) + 4y = 28$
$20 – 2y + 4y = 28 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4$.
$x = 10 – 4 = 6$.
Il y a 6 poules et 4 lapins.

Si les droites sont parallèles strictement (même coefficient directeur), elles ne se croisent jamais. Le système n’a AUCUNE SOLUTION.
Exemple : $0x + 0y = 5$ (Impossible).
Si les droites sont confondues (même équation multipliée), il y a une INFINITÉ DE SOLUTIONS.
Exemple : $0x + 0y = 0$ (Toujours vrai).

MUSÉE DES HORREURS

⛔ Oublier de multiplier TOUS les termes de l’équation lors de la combinaison (y compris le résultat après le égal).
⛔ Donner une seule valeur comme solution (ex: « La solution est 2 »). Non, la solution est un COUPLE $(x ; y)$.
⛔ Se tromper de signe lors de la soustraction des équations.