LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE
Le Théorème de Thalès
Géométrie & Proportionnalité – Niveau 3AC
1. L’Héritage Historique : Thalès et la Pyramide
Thalès de Milet (vers -625 à -547) était un savant grec, l’un des Sept Sages de l’Antiquité. Commerçant, ingénieur, astronome et philosophe, il a voyagé en Égypte où il a acquis des connaissances géométriques.
La légende, rapportée par Pline l’Ancien, raconte que le pharaon Amasis mit Thalès au défi de mesurer la hauteur de la grande pyramide de Khéops. Thalès n’avait pas d’instrument moderne, mais il avait son esprit. Il planta son bâton (le gnomon) verticalement dans le sable.
Il attendit le moment précis de la journée où la longueur de l’ombre de son bâton était exactement égale à la hauteur du bâton. À cet instant précis, il conclut que la longueur de l’ombre de la pyramide (ajoutée à la moitié de sa base) serait égale à la hauteur de la pyramide !
Plus généralement, il a utilisé la proportionnalité entre les hauteurs et les ombres :
2. Les Configurations de Thalès
Pour appliquer le théorème, il ne suffit pas d’avoir un triangle. Il faut identifier une situation précise où deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.
Il existe trois configurations classiques qu’il faut savoir repérer au premier coup d’œil.
3. Le Théorème Direct (Calcul de longueurs)
C’est l’outil mathématique pour calculer une longueur manquante dans une configuration de proportionnalité.
Soient deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en un point $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés du triangle $AMN$ sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle $ABC$.
Cela se traduit par l’égalité des trois rapports :
Pour ne jamais se tromper dans les rapports :
- Repérez le Sommet Commun (le point d’intersection des deux droites sécantes). Ici, c’est $A$.
- Commencez toujours vos deux premiers rapports par cette lettre : $\frac{A\dots}{A\dots} = \frac{A\dots}{A\dots}$.
- Assurez-vous que les points d’un même quotient sont alignés (M, A, B sont alignés, donc $\frac{AM}{AB}$ est correct).
- Pour le troisième rapport, enlevez la lettre commune $A$ : $\frac{MN}{BC}$.
Vous pouvez choisir de mettre le « Petit Triangle » en haut ou en bas, mais il faut rester cohérent pour les trois fractions.
4. Méthodologie de Rédaction « Parfaite »
En mathématiques, le résultat compte autant que la manière d’y arriver. Une rédaction rigoureuse est exigée au Brevet. Voici le modèle à suivre à la lettre.
Énoncé : Soit un triangle $ABC$ avec $AB = 8$ cm et $AC = 10$ cm. On place $M$ sur $[AB]$ tel que $AM = 2$ cm. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$. Sachant que $BC = 12$ cm, calculer $MN$.
Rédaction Type :
-
Les Hypothèses (La phrase d’introduction) :
On sait que :- Les points $A, M, B$ sont alignés.
- Les points $A, N, C$ sont alignés.
- Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
-
L’Invocation du Théorème :
D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité des rapports suivante :$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$ -
L’Application Numérique :
On remplace les longueurs connues par leurs valeurs :$\frac{2}{8} = \frac{AN}{10} = \frac{MN}{12}$ -
Le Calcul Final (Produit en croix) :
Pour calculer $MN$, on utilise le rapport connu ($\frac{2}{8}$) et le rapport contenant l’inconnue ($\frac{MN}{12}$).
$\frac{2}{8} = \frac{MN}{12}$
Donc $MN = \frac{2 \times 12}{8}$
$MN = \frac{24}{8} = 3$ cm.
5. La Réciproque : Prouver le Parallélisme
La réciproque sert à un objectif différent : démontrer que deux droites sont parallèles (ou prouver qu’elles ne le sont pas).
Soient $(d)$ et $(d’)$ deux droites sécantes en A.
- B et M sont deux points de $(d)$ distincts de A.
- C et N sont deux points de $(d’)$ distincts de A.
Si les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés dans le même ordre et si :
Alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Ne jamais écrire l’égalité $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ au début de votre raisonnement ! C’est ce que vous cherchez à vérifier. Vous ne le savez pas encore.
La bonne méthode : Calculez les deux rapports SÉPARÉMENT et comparez les résultats à la fin.
On donne $AM=5$, $AB=9$, $AN=6$, $AC=10$. Les droites sont-elles parallèles ?
- Calculons le premier rapport : $\frac{AM}{AB} = \frac{5}{9} \approx 0,555…$
- Calculons le deuxième rapport : $\frac{AN}{AC} = \frac{6}{10} = 0,6$.
- On constate que $\frac{5}{9} \neq \frac{6}{10}$ (car $5 \times 10 = 50$ et $9 \times 6 = 54$).
- Conclusion : Comme $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$, d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
6. Applications Avancées
6.1 Partager un segment sans règle graduée
C’est une application élégante de Thalès. Comment couper un segment $[AB]$ en 3 parties égales sans mesurer ?
- Tracez une demi-droite $[Ax)$ partant de A (n’importe quel angle).
- Avec un compas, reportez 3 fois une même longueur sur $[Ax)$ pour obtenir les points $M_1, M_2, M_3$.
- Reliez le dernier point $M_3$ à $B$.
- Tracez les parallèles à $(M_3B)$ passant par $M_1$ et $M_2$.
- D’après Thalès, ces parallèles couperont $[AB]$ en trois segments égaux !
6.2 L’agrandissement et la Réduction
Dans une configuration de Thalès, le triangle $AMN$ est une réduction (ou un agrandissement) du triangle $ABC$.
Le rapport $k = \frac{AM}{AB}$ est le coefficient d’agrandissement/réduction.
- Si $k < 1$, c'est une réduction.
- Si $k > 1$, c’est un agrandissement.
7. Exercices Types Corrigés
Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $C$. $(AB) // (DE)$.
$AC = 4$ cm ; $CE = 6$ cm ; $AB = 3$ cm.
Question : Calculer $DE$.
Solution :
- Configuration Papillon, sommet commun $C$.
- Thalès : $\frac{CA}{CE} = \frac{CB}{CD} = \frac{AB}{DE}$.
- On garde $\frac{CA}{CE} = \frac{AB}{DE}$.
- $\frac{4}{6} = \frac{3}{DE}$.
- $DE = \frac{6 \times 3}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$ cm.
Sur une droite $(d)$, on place $A, B, M$ tels que $AB=3$, $AM=7$.
Sur une autre droite $(d’)$ sécante en $A$, on place $C, N$ tels que $AC=4,5$, $AN=10,5$.
De plus, $B$ est sur $[AM]$ et $C$ est sur $[AN]$.
Question : $(BC) // (MN)$ ?
Solution :
- Rapport 1 : $\frac{AB}{AM} = \frac{3}{7}$.
- Rapport 2 : $\frac{AC}{AN} = \frac{4,5}{10,5}$. Pour simplifier, multiplions par 2 : $\frac{9}{21}$. Divisons par 3 : $\frac{3}{7}$.
- Les rapports sont égaux ! Les points sont alignés dans le même ordre. Donc c’est parallèle.
8. Le Musée des Horreurs (Erreurs à éviter)
- ⛔ Erreur de mélange : Écrire $\frac{AM}{AB} = \frac{AC}{AN}$.
Correction : Vous avez inversé le deuxième rapport ! C’est toujours « Petit/Grand = Petit/Grand ». - ⛔ Erreur de côté : Dans la configuration papillon, utiliser le côté qui relie les parallèles (ex: AC) au lieu du segment partant du sommet commun.
Rappel : Les rapports partent toujours du point d’intersection. - ⛔ Oubli des parallèles : Appliquer Thalès sans dire « On sait que les droites sont parallèles ».
Conséquence : 0 point à la question. C’est la condition sine qua non.