LE GRAND COURS DE MATHÉMATIQUES – VERSION ENRICHIE
Triangles Isométriques & Semblables
Géométrie Euclidienne – Niveau 3AC
1. Introduction : Clonage vs Zoom
En géométrie, nous comparons souvent des figures. Il existe deux niveaux de comparaison :
- Le Clonage (Isométrie) : Les figures sont parfaitement identiques. Si on les découpe, on peut les superposer exactement. Elles ont les mêmes longueurs et les mêmes angles.
- Le Zoom (Similitude) : Les figures ont la même forme, mais pas forcément la même taille. L’une est un agrandissement ou une réduction de l’autre. Elles ont les mêmes angles, mais des longueurs proportionnelles.
2. Triangles Isométriques (Égaux)
Deux triangles sont dits isométriques (ou égaux) s’ils sont superposables.
Cela signifie que :
- Leurs 3 côtés sont respectivement de même longueur.
- Leurs 3 angles sont respectivement de même mesure.
Pour prouver que deux triangles sont isométriques, il n’est pas nécessaire de vérifier les 6 égalités (3 côtés + 3 angles). Il suffit de vérifier 3 conditions spécifiques. Ce sont les « Cas d’Isométrie ».
3. Les 3 Cas d’Isométrie
Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ils sont isométriques.
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont isométriques.
Attention : L’angle doit être « coincé » entre les deux côtés connus.
Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont isométriques.
4. Triangles Semblables (De même forme)
Les triangles semblables sont des figures qui ont la même « allure ». L’un est un modèle réduit de l’autre.
Deux triangles sont dits semblables si leurs trois angles sont respectivement égaux.
Si deux triangles $ABC$ et $EFG$ sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Si les sommets homologues sont A $\leftrightarrow$ E, B $\leftrightarrow$ F, C $\leftrightarrow$ G, alors :
Ce nombre $k$ est appelé rapport de similitude.
- Si $k > 1$, c’est un agrandissement.
- Si $k < 1$, c'est une réduction.
- Si $k = 1$, les triangles sont isométriques.
5. Les 3 Cas de Similitude
Comme pour l’isométrie, il existe des raccourcis pour prouver la similitude.
Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux, alors ils sont semblables.
Pourquoi seulement deux ? Car la somme des angles vaut toujours 180°. Si deux sont égaux, le troisième l’est forcément !
Si les longueurs des trois côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des trois côtés de l’autre, alors ils sont semblables.
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés de longueurs proportionnelles, alors ils sont semblables.
6. Proportionnalité et Rapport k
Une fois la similitude prouvée, on peut utiliser le rapport $k$.
Si on passe d’un triangle $T$ à un triangle semblable $T’$ avec un rapport $k$ :
- Les longueurs sont multipliées par $k$ ($L’ = k \times L$).
- Les aires sont multipliées par $k^2$ ($Aire’ = k^2 \times Aire$).
7. Exercices Types Corrigés
Énoncé : Soit $ABCD$ un trapèze avec $(AB) // (CD)$. Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$.
Montrer que les triangles $OAB$ et $OCD$ sont semblables.
Solution :
- Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont opposés par le sommet, donc ils sont égaux.
- Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(AC)$.
Donc les angles alternes-internes $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OCD}$ sont égaux. - Conclusion : Les triangles $OAB$ et $OCD$ ont deux angles respectivement égaux, ils sont donc semblables.
Énoncé : $ABC$ est un triangle isocèle en $A$. $M$ est le milieu de $[BC]$.
Montrer que les triangles $ABM$ et $ACM$ sont isométriques.
Solution (Méthode CCC) :
- $AB = AC$ car le triangle est isocèle en A.
- $BM = MC$ car M est le milieu de $[BC]$.
- $AM = AM$ (Côté commun).
Conclusion : Les trois côtés sont deux à deux égaux. D’après le 1er cas d’isométrie, les triangles $ABM$ et $ACM$ sont isométriques.
8. Synthèse Finale
- Isométriques = Superposables (Mêmes côtés, Mêmes angles).
- Semblables = Même forme (Mêmes angles, Côtés proportionnels).
- Tous les triangles isométriques sont semblables (rapport $k=1$).
- Mais tous les triangles semblables ne sont pas isométriques !