Cours – Niveau 1ère Année Baccalauréat Sciences Mathématiques
I) LES PROPOSITIONS ; LES FONCTIONS PROPOSITIONNELLES
1) Activité et définition
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses :
- \(p_1\) : « 6 est un entier relatif »
- \(p_2\) : « \(\sqrt{2} \le 2\) »
- \(p_3\) : « \(\frac{2}{3}\) est nombre décimale »
- \(p_4\) : « \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10} > \frac{19}{10}\) »
Voici 2 montages :
Montage en série : Comprend une source G, deux interrupteurs \(K_1\), \(K_2\) et une lampe.
Montage en parallèle : Comprend une source G, deux interrupteurs \(K_1\), \(K_2\) montés en dérivation et une lampe.
- Si la lampe représente une lampe allumée, parmi les six images, déterminer celle qui sont valables.
- Exprimer dans une phrase les conditions pour qu’une lampe soit allumée (pour les deux montages).
Soit \(P(x)\) : « \(x \in \mathbb{R} ; 3x^2 – 2x – 1 = 0\) » (\(P(x)\) s’appelle une fonction propositionnelle).
- Donner une valeur \(a_1\) qui vérifie \(P(a_1)\) est fausse.
- Donner une valeur \(a_2\) qui vérifie \(P(a_2)\) est vraie.
- Que pouvez-vous dire de la proposition Q « pour tout x dans \(\mathbb{R}\) on a \(3x^2 – 2x – 1 = 0\) » ?
- Que pouvez-vous dire de la proposition R « il existe au moins un x dans \(\mathbb{R}\) tel que \(3x^2 – 2x – 1 = 0\) » ?
Soit \(P(x)\) une fonction propositionnelle sur un ensemble \(E\) et \(\mathcal{V}_{P(x)} = \{x \in E / P(x) \text{ est vraie}\}\).
Déterminer \(\mathcal{V}_{P(x)}\) dans les cas suivants :
- \(P(x)\) : « \(x \in \mathbb{R} ; 4x^2 + x – 5 \le 0\) »
- \(P(x)\) : « \(x \in \mathbb{R} ; |3x^2 + x| + x = 0\) »
Une proposition est un énoncé formé d’un assemblage de symboles et de mots, auquel une valeur de vérité vrai ou faux peut être attribuée.
Les énoncés suivants sont des propositions :
- \(p_1\) : « 3 est un entier pair »
- \(p_2\) : « \(\sqrt{2}\) est nombre positif »
- \(p_3\) : « Un carré est un parallélogramme »
- \(p_4\) : « Dans l’espace si deux droites sont perpendiculaires toute perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre. »
Déterminer la valeur de vérité de chaque proposition.
Une fonction propositionnelle sur un ensemble \(E\) est une expression contenant une ou plusieurs variables libres dans \(E\) et qui est susceptible de devenir une proposition vraie ou fausse si l’on attribue à ces variables certaines valeurs particulières de l’ensemble \(E\).
2) LES QUANTIFICATEURS
2.1 Quantificateur universel
Soit la fonction propositionnelle \(P(x)\) : « \(x \in \mathbb{R}^{*+} ; x + \frac{1}{x} \ge 2\) »
Vérifier que \(\mathcal{V}_{P(x)} = \mathbb{R}^{*+}\).
On peut dire que : « Quel que soit \(x \in \mathbb{R}^{*+}\) ; \(x + \frac{1}{x} \ge 2\) »
L’expression « Quel que soit » s’appelle le quantificateur universel et se note \(\forall\).
✓ Si on lie la variable d’une fonction propositionnelle par le quantificateur universel on obtient une proposition.
✓ La proposition « (\(\forall x \in E)(P(x))\) » est de valeur vraie si et seulement si \(\mathcal{V}_{P(x)} = E\).
Étudier la vérité des propositions suivantes :
- \((\forall x \in \mathbb{R})(2x^2 + x + 3 > 0)\)
- \((\forall (a,b) \in \mathbb{Q}^{*2})(a\sqrt{2} + b \neq 0)\)
- \((\forall n \in \mathbb{N}^{*})(\frac{n+1}{n} \notin \mathbb{N})\)
2.2 Quantificateur existentiel
Considérons l’équation (E) : \(3x^2 + x – 2 = 0\)
- Montrer que l’équation (E) admet au moins une solution dans \(\mathbb{R}\).
- Que peut-on dire de l’énoncé « il existe au moins un réel tel que : \(3x^2 + x – 2 = 0\) » ?
- Déterminer \(\mathcal{V}_{Q(x)}\).
L’expression « il existe au moins » s’appelle le quantificateur existentiel et se note \(\exists\).
✓ Si on lie la variable d’une fonction propositionnelle par le quantificateur existentiel on obtient une proposition.
✓ La proposition « (\(\exists x \in E)(P(x))\) » est de valeur vraie si et seulement si \(\mathcal{V}_{P(x)} \neq \emptyset\).
Étudier la vérité des propositions suivantes :
- \((\exists x \in \mathbb{R})(|x^2 – x| + 3x = 0)\)
- \((\exists x > 0)(x^2 + 3x = 0)\)
2.3 Proposition avec plusieurs quantificateurs
Considérons sur \(\mathbb{R}^2\) la fonction propositionnelle \(P_{(x,y)}\) : « \(3x + y – 1 = 0\) »
Les expressions suivantes sont des propositions :
- \((\exists x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})(3x + y – 1 = 0)\)
- \((\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})(3x + y – 1 = 0)\)
- \((\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})(3x + y – 1 = 0)\)
- \((\exists y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R})(3x + y – 1 = 0)\)
Déterminer les valeurs de vérité des propositions 1, 2, 3.
On admet que toute proposition est soit vraie, soit fausse ; c’est le principe du tiers exclu.
Une proposition vraie se note par 1 ou V ; une proposition fausse se note par 0 ou F.
II) OPÉRATIONS SUR LES PROPOSITIONS
1. La négation
La négation d’une proposition \(P\) est la proposition qui est vraie si \(P\) est fausse, et qui est fausse si \(P\) est vraie. On la note : \(\bar{P}\) ou \(\neg P\).
| \(P\) | \(\bar{P}\) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Ce tableau s’appelle le tableau de vérité de la négation.
2. La conjonction
La conjonction de deux propositions \(P\) et \(Q\) est la proposition qui est vraie uniquement si les deux propositions \(P\) et \(Q\) sont vraies en même temps. On la note (\(P\) et \(Q\)) ou \((P \land Q)\).
| \(P\) | \(Q\) | \(P \land Q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Ce tableau s’appelle le tableau de vérité de la conjonction.
Déterminer les valeurs de vérité des propositions suivantes :
- (3 est un nombre impair) et (6 est un nombre premier)
- (\(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel) et [\((\forall x \in \mathbb{R})(1 + 2x < x^2)\)]
- (5 est positif) et (3 divise 18)
3. La disjonction
La disjonction de deux propositions \(P\) et \(Q\) est la proposition qui est vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie. On la note (\(P\) ou \(Q\)) ou \((P \lor Q)\).
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Ce tableau s’appelle le tableau de vérité de la disjonction.
Déterminer les valeurs de vérité des propositions suivantes :
- (3 est un nombre impair) ou (6 est un nombre premier)
- (\(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel) ou [\((\forall x \in \mathbb{R})(1 + 2x < x^2)\)]
- (5 est positif) ou (3 divise 18)
Rappel : Un nombre irrationnel est un réel qui n’appartient pas à \(\mathbb{Q}\).
4. L’implication
Exercice : Déterminer le tableau de vérité de la proposition \((\bar{P} \lor Q)\).
À partir de deux propositions \(P\) et \(Q\) on obtient la proposition \((\bar{P} \lor Q)\) qui est fausse si \(P\) est vrai et \(Q\) est fausse, et vraie dans les autres cas. La proposition \((\bar{P} \lor Q)\) s’appelle « \(P\) implique \(Q\) » et se note \(P \Rightarrow Q\).
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Ce tableau s’appelle le tableau de vérité de l’implication.
Les propositions suivantes ont la même signification :
- Si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme.
- ABCD est un carré implique ABCD est un parallélogramme.
- Pour que ABCD soit un parallélogramme il suffit qu’il soit un carré.
- Pour que ABCD soit un carré il faut qu’il soit un parallélogramme.
En général, si on a \(P \Rightarrow Q\), on peut dire que :
- \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\).
- \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\).
Exemple : « ABCD un parallélogramme est nécessaire pour que ABCD soit un carré ». « ABCD un carré est suffisante pour que ABCD soit un parallélogramme ».
Donner une condition nécessaire et pas suffisante pour :
- \(x \in [1, 2]\)
- \(n\) divise 6
Donner une condition suffisante et pas nécessaire pour :
- \(x \in [1, 2]\)
- \(n\) divise 6
5. L’équivalence
- Dresser le tableau de vérité de \([(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)]\).
- Quand est-ce que la proposition \([(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)]\) est vraie ?
L’équivalence de deux propositions \(P\) et \(Q\) est la proposition qu’on note \((P \iff Q)\) et qui est vraie si \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \iff Q\) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Ce tableau s’appelle le tableau de vérité de l’équivalence.
- Les propositions \((P \iff Q)\) et \([(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)]\) ont les mêmes valeurs de vérité, on dit que les deux propositions sont équivalentes. L’implication \((Q \Rightarrow P)\) s’appelle l’implication inverse de l’implication \((P \Rightarrow Q)\).
- \((P \iff Q)\) se lit « \(P\) équivalent à \(Q\) », elle se lit encore « \(P\) si et seulement si \(Q\) ».
6) Opérations sur les fonctions propositionnelles
Si \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont deux fonctions propositionnelles sur un ensemble \(E\), alors :
\((P(x) * Q(x))\) est une fonction propositionnelle sur \(E\) et sa valeur de vérité pour tout élément \(a\) de \(E\) est la valeur de vérité de \((P(a) * Q(a))\), où * peut être remplacé par l’une des connexions logiques et, ou, \(\Rightarrow\), \(\iff\).
Soient \(P(x) : 2x^2 + 1 \le 5\) et \(Q(x) : x \in [1, 3]\) deux fonctions propositionnelles sur \(\mathbb{R}\).
Déterminer les valeurs de vérités des propositions suivantes :
- \(P(0)\) et \(Q(0)\).
- \(P(3) \Rightarrow Q(3)\).
- « pour que \(P(2)\) il suffit \(Q(2)\) ».
- « pour que \(P(1)\) il faut \(Q(1)\) ».
Pour montrer qu’une implication \((\forall x \in E)(P(x) \Rightarrow Q(x))\) est vraie, on suppose que \(P(x)\) est vraie et on montre que \(Q(x)\) est vraie.
III) LES LOIS LOGIQUES
1. Activités
En utilisant les tableaux de vérité, déterminer les valeurs de vérité des propositions suivantes :
- \(([(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)] \iff (P \iff Q))\)
- \([\begin{cases} P \Rightarrow Q \\ Q \Rightarrow R \end{cases} \Rightarrow (P \Rightarrow R)]\)
Note : L’accolade représente la conjonction « et ».
On appelle une loi logique toute proposition constituée par des propositions liées entre elles par des connexions logiques et qui est toujours vraie quelle que soit la valeur de vérité des propositions qui la constituent. Une loi logique s’appelle aussi une tautologie.
2. Quelques lois logiques
La commutativité :
- \((P \land Q) \iff (Q \land P)\)
- \((P \lor Q) \iff (Q \lor P)\)
- \((P \iff Q) \iff (Q \iff P)\)
La distributivité :
- \([P \land (Q \lor R)] \iff [(P \land Q) \lor (P \land R)]\)
- \([P \lor (Q \land R)] \iff [(P \lor Q) \land (P \lor R)]\)
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ (x + y)(5x + 4y – 3) = 0 \end{cases}\)
Loi de Morgan :
- \(\overline{(P \land Q)} \iff (\bar{P} \lor \bar{Q})\)
- \(\overline{(P \lor Q)} \iff (\bar{P} \land \bar{Q})\)
Application : Déterminer \(\overline{(P \Rightarrow Q)}\).
3. Lois logiques et raisonnement
Les lois logiques servent à déterminer la valeur de vérité d’une proposition.
Montrer que : \([(x \neq y \text{ et } xy \neq 1) \Rightarrow \frac{x}{x^2 + x + 1} \neq \frac{y}{y^2 + y + 1}]\).
La contraposition :
Application : Si \(x\) est un nombre réel tel que \(x^3 + x^2 – 2x < 0\) alors \(x < 1\).
La transitivité :
Cette loi est la base du raisonnement par déduction.
En général, on écrit : \(P \Rightarrow Q_1 \Rightarrow Q_2 \Rightarrow \dots \Rightarrow Q\). (On conclut \(P \Rightarrow Q\)).
Montrer que : \(|x| < 1 \Rightarrow |2x^2 - x - 1| < 2\).
Les équivalences successives :
Cette loi est la base du raisonnement par les équivalences successives.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\sqrt{x^2 + 1} = 2x\).
Raisonnement par disjonction des cas :
Si on montre que les deux implications \(\bar{P} \Rightarrow Q\) et \(P \Rightarrow Q\) sont vraies, alors on peut conclure que \(Q\) est vraie.
Montrer que le reste de la division de \(n^2\) par 3 ne peut jamais être égal à 2.
Raisonnement par l’absurde :
Si on veut montrer qu’une proposition \(P\) est vraie, on suppose que c’est sa négation \(\bar{P}\) qui est vraie et on montre que cela entraîne une proposition fausse. On en conclut que \(P\) est vraie.
- Sachant que \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\), montrer que \((\forall (h, k) \in \mathbb{Q}^{*2})(h\sqrt{2} + k \notin \mathbb{Q})\).
- Soit EFGH un tétraèdre ; I un point de \(]FG[\), J un point de \(]EG[\) et K un point de \(]EH[\). Montrer que les droites (EI) et (JK) ne sont pas concourantes.
Raisonnement par récurrence :
Soit \(P(n)\) une fonction propositionnelle sur \(\mathbb{N}\).
S’il existe \(n_0\) tel que \(P(n_0)\) est vraie et si pour tout \(n \ge n_0\) on a : \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\), alors on peut conclure que : \((\forall n \ge n_0)(P(n))\) est vraie.
- On montre que \(P(n_0)\) est vraie.
- On suppose que \(P(n)\) est vraie (Hypothèse de récurrence : HR).
- On montre que \(P(n+1)\) est vraie.
Montrer par récurrence les assertions suivantes :
- \((\forall n \in \mathbb{N}^{*})(1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2})\)
- \((\forall n \in \mathbb{N})(3 \text{ divise } (3^n + 4^n – 1))\) ? (Note : erreur potentielle dans l’énoncé original, à vérifier).
IV) NÉGATION D’UNE PROPOSITION QUANTIFIÉE
1) Complémentaire d’un ensemble
Soit \(E\) un ensemble et \(A \subset E\), on appelle complémentaire de \(A\) l’ensemble noté \(\bar{A}\) qui vérifie : \(A \cap \bar{A} = \emptyset\) et \(A \cup \bar{A} = E\).
Exemple : \(\bar{E} = \emptyset\) et \(\bar{\emptyset} = E\).
2) Négation d’une proposition quantifiée
On sait que si \(P(x)\) est une fonction propositionnelle sur \(E\), alors si \(\mathcal{V}_{P(x)} = \{x \in E / P(x) \text{ est vraie}\}\) :
- \(\overline{\mathcal{V}_{P(x)}} = \{x \in E / P(x) \text{ est fausse}\} = \{x \in E / \overline{P(x)} \text{ est vraie}\} = \mathcal{V}_{\overline{P(x)}}\).
- \((\forall x \in E)(P(x) \text{ est vraie}) \iff \mathcal{V}_{P(x)} = E\).
- \((\exists x \in E)(P(x) \text{ est vraie}) \iff \mathcal{V}_{P(x)} \neq \emptyset\).
Si \(P(x)\) est une fonction propositionnelle sur un ensemble \(E\), alors :
- \(\neg [(\forall x \in E)(P(x))] \iff [(\exists x \in E)(\overline{P(x)})]\)
- \(\neg [(\exists x \in E)(P(x))] \iff [(\forall x \in E)(\overline{P(x)})]\)
Donner les négations des propositions suivantes :
- \(P_1\) : \((\forall x \in \mathbb{R})[(3x^2 + 1 > 0 \text{ et } \frac{x^2}{x+1} \le 7)]\)
- \(P_2\) : \((\exists x \in [1, 2])(x + 1 < x^2 \Rightarrow x \in [2, 3])\)
- \(P_3\) : \((\forall x > 1)\) (pour que x soit positif il suffit que \(x^2 + x + 1\) soit positif).
- \(P_4\) : \((\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})(2x + y + 1 = 0)\).
Montrer que \(\bar{P_4}\) est vraie, en déduire la valeur de vérité de \(P_4\).
Après avoir déterminé la valeur de vérité de \(P_4\), déterminer la valeur de vérité de \((\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R})(2x + y + 1 = 0)\). Que remarquez-vous ?
Montrer que \((\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2)(a=b \iff [(\forall \varepsilon > 0)(|a – b| < \varepsilon)])\).
- \([(\forall x \in E)(P(x))] \land [(\forall x \in E)(Q(x))] \iff (\forall x \in E)(P(x) \land Q(x))\)
- \([(\exists x \in E)(P(x))] \lor [(\exists x \in E)(Q(x))] \iff (\exists x \in E)(P(x) \lor Q(x))\)
- \([(\forall x \in E)(P(x))] \lor [(\forall x \in E)(Q(x))] \Rightarrow (\forall x \in E)(P(x) \lor Q(x))\)
- \((\exists x \in E)(P(x) \land Q(x)) \Rightarrow [(\exists x \in E)(P(x))] \land [(\exists x \in E)(Q(x))]\)
L’implication inverse de 3 n’est pas vraie. \((\forall n \in \mathbb{N})\)(n est pair ou n est impair) est vraie, mais [\((\forall n \in \mathbb{N})(n \text{ pair})\) ou \((\forall n \in \mathbb{N})(n \text{ impair})\)] est fausse.
L’implication inverse de 4 n’est pas vraie. [\((\exists x \in \mathbb{R})(x > 0)\) et \((\exists x \in \mathbb{R})(x < 0)\)] est vraie, mais \((\exists x \in \mathbb{R})(x > 0 \text{ et } x < 0)\) est fausse.