MATHÉMATIQUES : PROGRAMME DE LA 2ÈME ANNÉE DU BACCALAURÉAT
Équations Différentielles
Chapitre Complet : Premier et Second Ordre
I. Définitions et Notations
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction (généralement notée $y$ ou $f$). Elle établit une relation entre cette fonction et ses dérivées successives ($y’, y », …$).
- Ordre : C’est le degré maximal de dérivation présent dans l’équation.
- Solution : Toute fonction vérifiant l’égalité sur un intervalle donné.
II. Équation du 1er ordre $y’ = ay$
Soit $a$ un réel non nul.
La solution générale de l’équation différentielle $y’ = ay$ sur $\mathbb{R}$ est l’ensemble des fonctions :
Résoudre $y’ = 3y$.
La solution générale est $y(x) = \lambda e^{3x}$.
III. Équation $y’ = ay + b$
Soit $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$.
La solution générale de l’équation $y’ = ay + b$ est l’ensemble des fonctions :
La valeur de la constante $\lambda$ est déterminée de manière unique si l’on fixe une condition initiale du type $y(x_0) = y_0$.
IV. Équations du 2ème ordre $y » + \omega^2y = 0$
Ce type d’équation modélise souvent des phénomènes oscillatoires (ex: ressort, circuit LC).
Les solutions de l’équation $y » + \omega^2y = 0$ ($\omega \neq 0$) sont les fonctions :
On peut aussi l’écrire sous la forme : $y(x) = A \sin(\omega x + \phi)$.
V. Équations $ay » + by’ + cy = 0$
Soient $a, b, c$ des réels avec $a \neq 0$. L’équation caractéristique associée est :
VI. Résolutions selon le Discriminant $\Delta$
On note $\Delta = b^2 – 4ac$ le discriminant de l’équation caractéristique.
| Signe de $\Delta$ | Racines de l’Eq. Caractéristique | Solution Générale $y(x)$ |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | Deux racines réelles $r_1$ et $r_2$ | $A e^{r_1x} + B e^{r_2x}$ |
| $\Delta = 0$ | Une racine double $r_0 = -\frac{b}{2a}$ | $(Ax + B) e^{r_0x}$ |
| $\Delta < 0$ | Deux racines complexes $p \pm iq$ | $e^{px} [A \cos(qx) + B \sin(qx)]$ |
Si les racines sont $r = p \pm iq$, alors :
- $p = -\frac{b}{2a}$ (partie réelle)
- $q = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ (partie imaginaire)