Le Dénombrement

Chapitre Complet : Principes Fondamentaux et Outils de Comptage

Sommaire du cours

I. Ensemble fini et Cardinal
II. Principe Fondamental (Produit)
III. Arrangements (Ordre important)
IV. Permutations
V. Combinaisons (Ordre non important)
VI. Synthèse des Types de Tirages

I. Ensemble fini et Cardinal

Définition

Un ensemble $E$ est dit fini si l’on peut compter ses éléments. Le nombre d’éléments distincts de $E$ est appelé le cardinal de $E$, noté $Card(E)$.

Propriétés des Cardinaux

$Card(E \cup F) = Card(E) + Card(F) – Card(E \cap F)$
Si $E$ et $F$ sont disjoints : $Card(E \cup F) = Card(E) + Card(F)$
$Card(E \times F) = Card(E) \times Card(F)$

II. Principe Fondamental du Dénombrement

Principe Multiplicatif

Si une expérience est composée de $p$ étapes, où la $1^{ère}$ étape offre $n_1$ choix, la $2^{ème}$ étape offre $n_2$ choix, …, et la $p^{ème}$ étape offre $n_p$ choix, alors le nombre total de possibilités est :

$N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p$

III. Arrangements

On utilise les arrangements quand l’ordre des éléments est important.

Arrangement sans répétition

C’est une liste ordonnée de $p$ éléments distincts parmi $n$. Le nombre d’arrangements est noté $A_n^p$ :

$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} = n(n-1)\dots(n-p+1)$

Arrangement avec répétition

Si on peut choisir le même élément plusieurs fois, le nombre de listes de $p$ éléments parmi $n$ est :

$N = n^p$

IV. Permutations

Définition

Une permutation de $n$ éléments est un arrangement de $n$ éléments parmi $n$. C’est une manière d’ordonner tout l’ensemble. Le nombre de permutations est :

$P_n = n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$

Note : Par convention, $0! = 1$.

V. Combinaisons

On utilise les combinaisons quand l’ordre n’a aucune importance (choix simultané).

Définition

Une combinaison de $p$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble de $E$. Son nombre est noté $C_n^p$ (ou $\binom{n}{p}$) :

$C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Propriétés Utiles

$C_n^p = C_n^{n-p}$
$C_n^0 = 1 \quad ; \quad C_n^1 = n \quad ; \quad C_n^n = 1$
Formule de Pascal : $C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1} = C_n^p$

VI. Synthèse des Types de Tirages

Ce tableau résume l’outil à utiliser selon le type de tirage effectué dans une urne contenant $n$ objets, où l’on en tire $p$.

Type de Tirage	Ordre	Répétition	Outil Mathématique
Simultané	Non	Non	$C_n^p$
Successif sans remise	Oui	Non	$A_n^p$
Successif avec remise	Oui	Oui	$n^p$