Les Nombres Complexes

Chapitre Complet : Algèbre, Géométrie et Trigonométrie

Sommaire du cours

I. Approche et Définition
II. Opérations dans C
III. Présentation Géométrique
IV. Conjugué d’un Nombre Complexe
V. Module d’un Nombre Complexe
VI. Argument d’un Nombre Complexe
VII. Écriture Trigonométrique
VIII. Opérations Trigonométriques

I. Approche et Définition

Définition Fondamentale

Un nombre complexe est un nombre dont l’écriture est de la forme $z = a + bi$ avec $a$ et $b$ appartenant à $\mathbb{R}$ et $i$ un nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$.

L’ensemble de ces nombres est noté $\mathbb{C}$.
L’écriture $z = a + bi$ est appelée forme algébrique.
$a$ est la partie réelle : $Re(z) = a$.
$b$ est la partie imaginaire : $Im(z) = b$.

Égalité de deux complexes

$a + bi = a’ + b’i \Leftrightarrow (a = a’ \text{ et } b = b’)$.

II. Opérations dans l’ensemble $\mathbb{C}$

1. Addition et Multiplication

Soient $z = x + yi$ et $z’ = x’ + y’i$ :

Addition : $z + z’ = (x + x’) + (y + y’)i$
Multiplication : $z \times z’ = (xx’ – yy’) + (xy’ + yx’)i$

2. Inverse et Quotient

Formules de division

Pour $z’ = x’ + y’i \neq 0$ :

Inverse : $\frac{1}{z’} = \frac{x’ – y’i}{x’^2 + y’^2}$
Quotient : $\frac{z}{z’} = \frac{z \times \bar{z’}}{z’ \times \bar{z’}}$

III. Présentation Géométrique

Le Plan Complexe

Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ :

Tout point $M(x, y)$ est l’image du complexe $z = x + yi$. $z$ est l’affixe de $M$.
L’axe des abscisses est l’axe réel.
L’axe des ordonnées est l’axe imaginaire.
Affixe d’un vecteur $\vec{AB}$ : $z_{\vec{AB}} = z_B – z_A$.
Affixe du milieu de $[AB]$ : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.

IV. Conjugué d’un Nombre Complexe

Définition

Le conjugué de $z = x + yi$ est $\bar{z} = x – yi$.

Propriétés :

$z + \bar{z} = 2Re(z)$
$z – \bar{z} = 2iIm(z)$
$\overline{z \times z’} = \bar{z} \times \bar{z’}$
$z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \bar{z}$
$z \in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z = -\bar{z}$

V. Module d’un Nombre Complexe

Définition et Géométrie

Le module de $z = x + yi$ est le réel positif : $|z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Propriétés :

$|z| = OM$ (distance à l’origine).
$|z_B – z_A| = AB$ (distance entre deux points).
$|z \times z’| = |z| \times |z’|$
$|z^n| = |z|^n$

VI. Argument d’un Nombre Complexe

Définition

Pour $z \neq 0$, l’argument de $z$ est une mesure de l’angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$. On note :

$arg(z) \equiv (\vec{u}, \vec{OM}) \pmod{2\pi}$

Propriétés des arguments

$arg(z \times z’) \equiv arg(z) + arg(z’) \pmod{2\pi}$
$arg(z^n) \equiv n \times arg(z) \pmod{2\pi}$
$arg(\frac{z}{z’}) \equiv arg(z) – arg(z’) \pmod{2\pi}$

VII. Écriture Trigonométrique

Forme Trigonométrique

Tout complexe non nul peut s’écrire sous la forme :

$z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$

Où $r = |z|$ et $\alpha = arg(z)$. On note aussi $z = [r, \alpha]$.

VIII. Opérations sur les formes trigonométriques

Opération	Formule
Produit	$[r, \alpha] \times [r’, \alpha’] = [r \times r’, \alpha + \alpha’]$
Inverse	$\frac{1}{[r, \alpha]} = [\frac{1}{r}, -\alpha]$
Quotient	$\frac{[r, \alpha]}{[r’, \alpha’]} = [\frac{r}{r’}, \alpha – \alpha’]$
Puissance	$[r, \alpha]^n = [r^n, n\alpha]$

Formule de Moivre

$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$