MATHÉMATIQUES : GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE (2BAC PC & SVT)
Produit Scalaire dans l’Espace
Chapitre Complet : Analytique, Plans et Sphères
I. Définition et Propriétés
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le nombre réel défini par :
- Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
- Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
II. Analytique du Produit Scalaire
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, soient $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x’, y’, z’)$.
- Produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’ + zz’$
- Norme d’un vecteur : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
- Distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$
III. Équation Cartésienne d’un Plan
Un vecteur non nul $\vec{n}$ est dit normal à un plan $(P)$ s’il est orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan.
Tout plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ admet une équation cartésienne de la forme :
Réciproquement, l’ensemble des points $M(x, y, z)$ vérifiant cette équation est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$.
IV. Distance d’un Point à un Plan
La distance du point $A(x_A, y_A, z_A)$ au plan $(P)$ d’équation $ax + by + cz + d = 0$ est :
V. Étude de la Sphère
La sphère $(S)$ de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $\Omega M = R$. Son équation est :
Soit $d = d(\Omega, (P))$ la distance du centre de la sphère au plan :
- Si $d > R$ : L’intersection est vide.
- Si $d = R$ : Le plan est tangent à la sphère en un point $H$.
- Si $d < R$ : L'intersection est un cercle de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.