Produit Vectoriel

Chapitre Complet : Orientation, Définition et Applications

Sommaire du cours

I. Orientation de l’espace
II. Définition du Produit Vectoriel
III. Propriétés Algébriques
IV. Expression Analytique
V. Applications Géométriques

I. Orientation de l’espace

Trièdre et Base Directe

On appelle trièdre trois demi-droites $[OI)$, $[OJ)$ et $[OK)$ non coplanaires. L’orientation se fait selon la règle du Bonhomme d’Ampère :

Le bonhomme est debout sur l’axe $[OK)$, ses pieds en $O$, il regarde vers $[OI)$.
Si son bras gauche indique le côté $[OJ)$, le trièdre est dit direct.

II. Définition du Produit Vectoriel

Définition Géométrique

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. Le produit vectoriel de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est le vecteur défini par :

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.
Sinon :
1. $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \perp \vec{u}$ et $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \perp \vec{v}$.
2. La base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ est directe.
3. Norme : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \sin(\theta)$ où $\theta = (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$.

III. Propriétés Algébriques

Propriétés Fondamentales

Antisymétrie : $\vec{v} \wedge \vec{u} = -(\vec{u} \wedge \vec{v})$
Bilinéarité : $(\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$ et $\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} \wedge \vec{v}) + (\vec{u} \wedge \vec{w})$.
Condition de colinéarité : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

IV. Expression Analytique

Dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, soient $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x’, y’, z’)$.

Calcul par déterminants

Le vecteur $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ a pour coordonnées :

$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y’ \\ z & z’ \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} x & x’ \\ z & z’ \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x’ \\ y & y’ \end{vmatrix} \vec{k}$

Soit : $X = yy’ – zz’$, $Y = -(xz’ – zx’)$, $Z = xy’ – yx’$.

V. Applications Géométriques

1. Aire d’un triangle et d’un parallélogramme

Aire du triangle $ABC$ : $S_{ABC} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|$
Aire du parallélogramme $ABCD$ : $S_{ABCD} = \|\vec{AB} \wedge \vec{AD}\|$

2. Distance d’un point à une droite

La distance du point $M$ à la droite $D(A, \vec{u})$ est donnée par :

$d(M, D(A, \vec{u})) = \frac{\|\vec{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

3. Équation cartésienne d’un plan

Si $A, B$ et $C$ sont trois points non alignés, alors le vecteur $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.