Nombres Complexes (Partie 2)

Forme Exponentielle, Équations et Géométrie

Sommaire du cours

I. La Forme Exponentielle
II. Formules de Moivre et d’Euler
III. Linéarisation
IV. Équations du Second Degré dans C
V. Transformations dans le Plan
VI. Applications Géométriques

I. La Forme Exponentielle

Définition et Notation

Soit $\theta$ un réel, on pose : $\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$.

Soit $z = [r, \theta]$ un complexe non nul, sa forme exponentielle est :

$z = r e^{i\theta}$

Où $r = |z|$ et $\theta \equiv \text{arg}(z) [2\pi]$.

Propriétés de la Notation Exponentielle

$e^{i\theta} \cdot e^{i\theta’} = e^{i(\theta + \theta’)}$
$\frac{1}{e^{i\theta’}} = e^{-i\theta’}$
$\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta’}} = e^{i(\theta – \theta’)}$
$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$
$-e^{i\theta} = e^{i(\pi + \theta)}$

II. Formules de Moivre et d’Euler

Formule de Moivre

Pour tout réel $\theta$ et tout entier $n \in \mathbb{Z}$ :

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

Formules d’Euler

Pour tout réel $\theta$ :

$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}$

III. Linéarisation

La linéarisation consiste à transformer des puissances de $\cos$ ou $\sin$ en sommes de fonctions circulaires de la forme $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$.

Exemple de Linéarisation : $\cos^4\theta$

$\cos^4\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}(e^{4i\theta} + 4e^{2i\theta} + 6 + 4e^{-2i\theta} + e^{-4i\theta})$

En regroupant les termes : $\cos^4\theta = \frac{1}{8}\cos(4\theta) + \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{3}{8}$.

IV. Équations du Second Degré dans $\mathbb{C}$

Résolution de $az^2 + bz + c = 0$

Soit $\Delta = b^2 – 4ac$ le discriminant :

Si $\Delta = 0$ : Une racine réelle double $z_0 = -\frac{b}{2a}$.
Si $\Delta > 0$ : Deux racines réelles $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta < 0$ : Deux racines complexes conjuguées :
$z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad z_2 = \bar{z_1}$

V. Transformations dans le Plan

Les transformations géométriques classiques s’expriment de manière élégante avec les complexes.

Transformation	Écriture Complexe	Éléments Caractéristiques
Translation	$z’ = z + b$	Vecteur $\vec{u}$ d’affixe $b$
Homothétie	$z’ – \omega = k(z – \omega)$	Centre $\Omega(\omega)$ et rapport $k \in \mathbb{R}^*$
Rotation	$z’ – \omega = e^{i\theta}(z – \omega)$	Centre $\Omega(\omega)$ et angle $\theta \in \mathbb{R}$

VI. Applications Géométriques

Déterminer la nature d’une transformation

Soit l’application $f$ d’écriture $z’ = az + b$ :

Si $a = 1$ : $f$ est une translation de vecteur d’affixe $b$.
Si $a \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$ : $f$ est une homothétie de rapport $a$.
Si $|a| = 1$ et $a \neq 1$ : $f$ est une rotation d’angle $\text{arg}(a)$.

Pour l’homothétie et la rotation, le centre $\Omega$ est le point invariant ($\omega = a\omega + b$).