Définition de la Compacité (Borel-Lebesgue)
La compacité est une notion topologique fondamentale qui généralise l’idée d’être « fermé et borné » que l’on connaît dans $\mathbb{R}^n$. Intuitivement, un espace compact est un espace qui n’est « pas trop grand » et ne possède pas de « trous » à ses extrémités. La définition formelle, due à Borel et Lebesgue, est plus abstraite mais extrêmement puissante.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $A$ une partie de $X$.
Un recouvrement ouvert de $A$ est une famille d’ensembles ouverts $(O_i)_{i \in I}$ de $X$ telle que leur union contienne $A$.
$$ A \subseteq \bigcup_{i \in I} O_i $$
Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit compact si de tout recouvrement ouvert de $X$, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Autrement dit, si $(O_i)_{i \in I}$ est une famille d’ouverts telle que $X = \bigcup_{i \in I} O_i$, alors il existe un nombre fini d’indices $i_1, i_2, \dots, i_n \in I$ tels que : $$ X = O_{i_1} \cup O_{i_2} \cup \dots \cup O_{i_n} $$
Une partie $A \subseteq X$ est dite compacte si elle est compacte pour la topologie induite.
Exemples et Contre-exemples
- L’intervalle fermé $[0, 1]$ est compact. C’est le résultat principal du théorème de Heine-Borel. Il est impossible de recouvrir $[0, 1]$ par une infinité d’ouverts sans qu’un nombre fini d’entre eux suffise.
- L’intervalle ouvert $]0, 1[$ n’est pas compact. Pour le voir, considérons le recouvrement ouvert suivant : $$ \left( O_n = \left] \frac{1}{n}, 1 \right[ \right)_{n \ge 2} $$ On a bien $\bigcup_{n=2}^{\infty} O_n = ]0, 1[$. Cependant, aucune sous-famille finie de ces ouverts ne peut recouvrir $]0, 1[$, car il manquera toujours les points proches de 0.
- L’ensemble $\mathbb{R}$ n’est pas compact. On peut le recouvrir par la famille d’ouverts $(]-n, n[)_{n \in \mathbb{N}^*}$. Il est clair qu’aucune sous-famille finie ne peut recouvrir $\mathbb{R}$ tout entier.