Définition de la Compacité Séquentielle
En parallèle de la définition de Borel-Lebesgue (basée sur les recouvrements), il existe une autre approche pour définir la compacité, qui utilise le langage des suites. Cette notion, appelée compacité séquentielle, est souvent plus facile à visualiser et à manipuler, notamment dans les espaces métriques où elle coïncide avec la compacité classique.
Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit séquentiellement compact si toute suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $X$ admet au moins une sous-suite convergente dans $X$.
Une partie $A \subseteq X$ est dite séquentiellement compacte si toute suite d’éléments de $A$ admet une sous-suite qui converge vers un élément de $A$.
Lien avec la Compacité de Borel-Lebesgue
Le lien entre ces deux notions de compacité est un point central de la topologie :
- Tout espace compact est séquentiellement compact.
- La réciproque n’est pas vraie en général dans les espaces topologiques quelconques.
Dans un espace métrique $(X, d)$, les notions de compacité et de compacité séquentielle sont équivalentes.
Ce théorème est fondamental car il nous permet d’utiliser indifféremment l’une ou l’autre des définitions dans des contextes très courants comme $\mathbb{R}^n$.