Définition de la Connexité par Arcs
La connexité par arcs est une notion plus forte et souvent plus intuitive que la connexité. Elle formalise l’idée que l’on peut se déplacer « continûment » d’un point à un autre sans jamais quitter l’ensemble. Si un espace est connexe par arcs, il est forcément connexe, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.
Soit $X$ un espace topologique. Un chemin (ou un arc) dans $X$ reliant deux points $a, b \in X$ est une application continue $\gamma : [0, 1] \to X$ telle que : $$\gamma(0) = a \quad \text{et} \quad \gamma(1) = b$$ L’intervalle $[0, 1]$ est muni de sa topologie usuelle. Le point $a$ est l’origine du chemin et $b$ est son extrémité.
Un espace topologique $X$ est dit connexe par arcs si pour toute paire de points $(a, b)$ dans $X$, il existe un chemin dans $X$ reliant $a$ à $b$.
Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.
Exemples et Contre-exemples
- Un disque dans $\mathbb{R}^2$ est connexe par arcs. Pour relier deux points A et B, il suffit de tracer le segment de droite $[A, B]$, qui est entièrement contenu dans le disque. L’application $\gamma(t) = (1-t)A + tB$ est un chemin continu.
- $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ pour $n \ge 2$ est connexe par arcs. On peut toujours relier deux points, au besoin en « contournant » l’origine.
- $\mathbb{R} \setminus \{0\} = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$ n’est pas connexe par arcs. Il est impossible de relier continûment un point négatif (comme -1) à un point positif (comme 1) sans passer par 0, qui a été retiré.
- La « courbe du topologue » est l’exemple classique d’un espace qui est connexe mais non connexe par arcs.