Définition de la Continuité Topologique

En analyse réelle, la continuité d’une fonction en un point est définie avec les notions de limites (en $\epsilon$-$\delta$). La topologie générale permet d’étendre cette idée à un cadre beaucoup plus large, sans avoir besoin d’une notion de distance. La continuité devient une propriété structurelle liée à la préservation des ouverts.

Définition : Continuité

Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques.

Une fonction $f: X \to Y$ est dite continue si l’image réciproque par $f$ de tout ouvert de $Y$ est un ouvert de $X$. $$\forall O \in \mathcal{T}_Y, \quad f^{-1}(O) \in \mathcal{T}_X$$ où $f^{-1}(O) = \{x \in X \mid f(x) \in O\}$.

Remarques

Cette définition est globale. Elle définit la continuité sur l’ensemble de l’espace $X$.
La continuité d’une fonction dépend crucialement des topologies choisies sur les espaces de départ et d’arrivée. Une même fonction peut être continue pour certaines topologies et discontinue pour d’autres.

Proposition : Caractérisations Équivalentes

Soit $f: X \to Y$ une fonction entre deux espaces topologiques. Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est continue.
L’image réciproque de tout fermé de $Y$ est un fermé de $X$.
Pour toute partie $A \subseteq X$, on a $f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$.
Pour tout point $x \in X$ et tout voisinage $V$ de $f(x)$, il existe un voisinage $U$ de $x$ tel que $f(U) \subseteq V$. (C’est la définition la plus proche de celle de l’analyse).

Exemples

Topologie discrète : Si $X$ est muni de la topologie discrète (où toute partie est un ouvert), alors toute fonction $f: X \to Y$ est continue, quel que soit l’espace d’arrivée $Y$.
Topologie grossière : Si $Y$ est muni de la topologie grossière (où les seuls ouverts sont $\emptyset$ et $Y$), alors toute fonction $f: X \to Y$ est continue, quel que soit l’espace de départ $X$.
Fonctions constantes : Toute fonction constante $f: X \to Y$ est continue. En effet, l’image réciproque d’un ouvert de $Y$ est soit $X$ (si la valeur constante est dans l’ouvert), soit $\emptyset$, qui sont tous deux des ouverts de $X$.