Définition de la Frontière d’une Partie
La frontière d’une partie $A$ d’un espace topologique $X$ est l’ensemble des points qui sont simultanément « à la limite » de $A$ et de son complémentaire. Intuitivement, ce sont les points du « bord » de l’ensemble, qui ne sont ni complètement à l’intérieur de $A$, ni complètement à l’extérieur.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et soit $A$ une partie de $X$.
La frontière de $A$, notée $\text{Fr}(A)$ ou $\partial A$, est définie comme l’intersection de l’adhérence de $A$ et de l’adhérence de son complémentaire $A^c = X \setminus A$. $$\partial A = \bar{A} \cap \overline{A^c}$$
La frontière d’une partie $A$ peut être caractérisée de plusieurs manières équivalentes :
- $\partial A$ est l’ensemble des points qui n’appartiennent pas à l’intérieur de $A$ ni à l’intérieur de son complémentaire : $\partial A = X \setminus (\mathring{A} \cup \text{Int}(A^c))$.
- Un point $x \in X$ appartient à $\partial A$ si et seulement si tout voisinage de $x$ rencontre à la fois $A$ et son complémentaire $A^c$.
- On a la relation fondamentale : $\bar{A} = \mathring{A} \cup \partial A$. L’adhérence est donc l’union disjointe de l’intérieur et de la frontière.
- La frontière d’un ensemble est toujours un ensemble fermé.
- La frontière de $A$ est identique à la frontière de son complémentaire : $\partial A = \partial (A^c)$.
- Un ensemble $A$ est fermé si et seulement si $\partial A \subseteq A$. Il est ouvert si et seulement si $\partial A \cap A = \emptyset$.
Exemples Concrets dans $\mathbb{R}$
Considérons l’espace topologique $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle.
- Pour un intervalle ouvert ou fermé : Si $A = ]0, 1[$ ou $A = [0, 1]$, la frontière est dans les deux cas l’ensemble des bornes. Donc, $\partial A = \{0, 1\}$.
- Pour l’ensemble des rationnels : Si $A = \mathbb{Q}$, on a vu que $\bar{A} = \mathbb{R}$. De même, le complémentaire $A^c = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (les irrationnels) est aussi dense dans $\mathbb{R}$, donc $\overline{A^c} = \mathbb{R}$. Par conséquent, la frontière est $\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$. Tout point réel est sur la « frontière » des rationnels.
- Pour un ensemble fini : Si $A = \{1, 2, 3\}$, cet ensemble est son propre adhérence. Son complémentaire est ouvert, donc $\text{Int}(A^c) = A^c$. Ainsi $\overline{A^c}$ est $\mathbb{R}$. La frontière est donc $\partial A = A \cap \mathbb{R} = A = \{1, 2, 3\}$.