Introduction : Au-delà du Groupe
Après avoir étudié la structure de groupe, qui formalise la notion de symétrie avec une seule opération, l’algèbre s’intéresse à des structures plus riches. L’exemple le plus familier est l’ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$, sur lequel on peut non seulement additionner (et soustraire), mais aussi multiplier. La structure d’anneau est précisément la généralisation de ce concept.
Un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne (généralement appelées addition et multiplication) qui interagissent d’une manière bien définie, dictée par la distributivité. Cette structure est au cœur de l’algèbre commutative, de la théorie des nombres, de la géométrie algébrique et de nombreuses autres branches des mathématiques.
Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ où $A$ est un ensemble et $+$ et $\times$ sont deux lois de composition interne sur $A$ satisfaisant aux axiomes suivants :
- $(A, +)$ est un groupe abélien (commutatif).
- Associativité de + : $\forall a,b,c \in A, (a+b)+c = a+(b+c)$.
- Existence d’un neutre pour + (noté $0_A$) : $\exists 0_A \in A, \forall a \in A, a+0_A = 0_A+a = a$.
- Existence d’un opposé pour + : $\forall a \in A, \exists (-a) \in A, a+(-a) = (-a)+a = 0_A$.
- Commutativité de + : $\forall a,b \in A, a+b = b+a$.
- La loi $\times$ est associative et possède un élément neutre.
- Associativité de $\times$ : $\forall a,b,c \in A, (a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
- Existence d’un neutre pour $\times$ (noté $1_A$) : $\exists 1_A \in A, \forall a \in A, a \times 1_A = 1_A \times a = a$.
- La loi $\times$ est distributive par rapport à la loi $+$.
- Distributivité à gauche : $\forall a,b,c \in A, a \times (b+c) = (a \times b) + (a \times c)$.
- Distributivité à droite : $\forall a,b,c \in A, (a+b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$.
- Un anneau est dit commutatif si sa loi de multiplication $\times$ est commutative : $\forall a,b \in A, a \times b = b \times a$.
- Un élément $a \in A$ est un diviseur de zéro s’il est non nul et s’il existe $b \in A$, non nul, tel que $a \times b = 0_A$ ou $b \times a = 0_A$.
- Un anneau commutatif, non nul, qui ne possède pas de diviseur de zéro est dit intègre.
- Un corps est un anneau (commutatif) non nul dans lequel tout élément non nul est inversible pour la multiplication. Un corps est toujours un anneau intègre.
Exemples Fondamentaux d’Anneaux
- L’anneau des entiers relatifs $(\mathbb{Z}, +, \times)$ : C’est l’exemple prototypique. C’est un anneau commutatif et intègre. Il n’est pas un corps car le seul élément inversible pour $\times$ est 1 et -1.
- Les corps numériques $(\mathbb{Q}, +, \times)$, $(\mathbb{R}, +, \times)$, $(\mathbb{C}, +, \times)$ : Ce sont des anneaux commutatifs où tout élément non nul a un inverse. Ce sont donc des corps.
- L’anneau des entiers modulo n, $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ : C’est un anneau commutatif. Il est intègre (et c’est un corps) si et seulement si $n$ est un nombre premier. Par exemple, dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, on a $2 \times 3 = 6 \equiv 0$, donc 2 et 3 sont des diviseurs de zéro.
- L’anneau des polynômes $K[X]$ : Soit $K$ un corps. L’ensemble des polynômes à une indéterminée $X$ et à coefficients dans $K$ forme un anneau commutatif intègre.
- L’anneau des matrices carrées $(\mathcal{M}_n(K), +, \times)$ : Soit $K$ un corps et $n \ge 2$. L’ensemble des matrices carrées de taille $n \times n$ à coefficients dans $K$ est un anneau. C’est un exemple fondamental d’anneau non commutatif. Il possède également de nombreux diviseurs de zéro.
- L’anneau trivial : L’ensemble $\{0\}$ avec $0+0=0$ et $0 \times 0 = 0$ est un anneau, appelé l’anneau nul. C’est le seul anneau où $1_A = 0_A$.
Conclusion
La structure d’anneau est un socle de l’algèbre moderne. Elle capture les propriétés essentielles des systèmes numériques et polynomiaux. La distinction entre anneaux commutatifs et non commutatifs, et entre anneaux intègres et non intègres, donne naissance à des théories riches et variées, avec des applications allant de la cryptographie à la physique théorique.