Définition de la Structure de Groupe
La structure de groupe est l’une des structures algébriques les plus fondamentales et les plus étudiées en mathématiques. Elle formalise la notion de symétrie et se retrouve dans de très nombreux domaines. Un groupe est essentiellement un ensemble muni d’une loi de composition qui permet de « faire », de « défaire » et de « combiner » des opérations de manière cohérente.
Un groupe est un couple $(G, \star)$ formé d’un ensemble non vide $G$ et d’une loi de composition interne $\star$ qui vérifie les trois axiomes suivants :
- Associativité : La loi $\star$ est associative.
$\forall (x, y, z) \in G^3, \ (x \star y) \star z = x \star (y \star z)$. - Élément neutre : Il existe un élément neutre $e \in G$.
$\exists e \in G, \ \forall x \in G, \ x \star e = e \star x = x$. - Symétrique : Tout élément de $G$ admet un symétrique.
$\forall x \in G, \ \exists x’ \in G, \ x \star x’ = x’ \star x = e$.
Un groupe $(G, \star)$ est dit abélien (ou commutatif) si sa loi de composition est de plus commutative : $$ \forall (x, y) \in G^2, \quad x \star y = y \star x $$
Exemples Fondamentaux de Groupes
- $(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{Q}, +)$, $(\mathbb{R}, +)$ : Ce sont des groupes abéliens.
- $(\mathbb{Q}^*, \times)$, $(\mathbb{R}^*, \times)$, $(\mathbb{C}^*, \times)$ : L’ensemble des nombres non nuls pour la multiplication forme un groupe abélien.
- $(GL_n(\mathbb{R}), \times)$ : L’ensemble des matrices carrées inversibles de taille $n$ muni de la multiplication matricielle est un groupe. Il n’est pas abélien si $n \ge 2$.
- $(\mathcal{S}(E), \circ)$ : L’ensemble des bijections d’un ensemble $E$ dans lui-même (permutations), muni de la composition, est un groupe.
Contre-Exemples
- $(\mathbb{N}, +)$ n’est pas un groupe. C’est un monoïde, mais les éléments autres que 0 n’ont pas de symétrique dans $\mathbb{N}$.
- $(\mathbb{Z}, \times)$ n’est pas un groupe. Seuls 1 et -1 sont inversibles.