Définition de l’Adhérence d’une Partie
L’adhérence d’une partie $A$ d’un espace topologique $X$, aussi appelée fermeture de $A$, est l’ensemble de tous les points qui sont « infiniment proches » de $A$. Cela inclut les points de $A$ ainsi que ses points limites. C’est le plus petit ensemble fermé qui contient $A$.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et soit $A$ une partie de $X$.
L’adhérence de $A$, notée $\text{Adh}(A)$ ou $\bar{A}$, est définie comme l’intersection de tous les ensembles fermés de $X$ qui contiennent $A$. $$\bar{A} = \bigcap_{F \text{ fermé}, A \subseteq F} F$$
L’adhérence d’une partie $A$ peut être caractérisée de plusieurs manières équivalentes :
- $\bar{A}$ est le plus petit fermé (au sens de l’inclusion) contenant $A$.
- Un point $x \in X$ appartient à $\bar{A}$ si et seulement si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ (c’est-à-dire, pour tout voisinage $V$ de $x$, $V \cap A \neq \emptyset$).
- Dans un espace métrique, un point $x$ est dans $\bar{A}$ s’il existe une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $A$ qui converge vers $x$.
- Une partie $A$ est un fermé si et seulement si $A = \bar{A}$.
- L’opération adhérence est idempotente : $\bar{\bar{A}} = \bar{A}$.
Exemples Concrets dans $\mathbb{R}$
Considérons l’espace topologique $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle.
- Pour un intervalle ouvert : Si $A = ]0, 1[$, les points $0$ et $1$ sont « infiniment proches » de $A$. Le plus petit fermé contenant $]0, 1[$ est l’intervalle fermé $[0, 1]$. Donc, $\bar{A} = [0, 1]$.
- Pour l’ensemble des rationnels : Si $A = \mathbb{Q}$, tout nombre réel (rationnel ou irrationnel) est la limite d’une suite de nombres rationnels. Ainsi, l’adhérence de $\mathbb{Q}$ est $\mathbb{R}$ tout entier. On dit que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. Donc, $\bar{A} = \mathbb{R}$.
- Pour un ensemble fini : Si $A = \{1, 2, 3\}$, cet ensemble est déjà fermé (car son complémentaire est une union d’intervalles ouverts). Il n’y a pas d’autres points limites. Donc, $\bar{A} = A = \{1, 2, 3\}$.