Définition de l’Image d’un Morphisme
Tout comme le noyau, l’image d’un morphisme de groupes est un sous-ensemble fondamental qui fournit des informations cruciales sur le morphisme. L’image est l’ensemble de tous les points de l’espace d’arrivée qui sont « atteints » par le morphisme. Elle permet notamment de caractériser la surjectivité.
Soit $f: (G, \star) \to (H, \bullet)$ un morphisme de groupes.
L’image de $f$, notée $\text{Im}(f)$ ou $f(G)$, est l’ensemble des éléments de $H$ qui sont l’image d’au moins un élément de $G$.
$$ \text{Im}(f) = \{ y \in H \mid \exists x \in G, y = f(x) \} $$
L’image $\text{Im}(f)$ est toujours un sous-groupe de l’espace d’arrivée $H$.
(Ceci est une conséquence directe du fait que l’image directe d’un sous-groupe par un morphisme est un sous-groupe).
Un morphisme de groupes $f: G \to H$ est surjectif si et seulement si son image est égale à l’espace d’arrivée tout entier. $$ f \text{ est surjectif} \iff \text{Im}(f) = H $$
Cette propriété est très intuitive. Par définition, une application est surjective si tous les éléments de l’ensemble d’arrivée ont au moins un antécédent, ce qui correspond exactement à la définition de $\text{Im}(f) = H$.
Exemples
- Déterminant : Pour le morphisme $\det: (GL_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)$, l’image est l’ensemble de tous les réels non nuls, car pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, on peut construire une matrice de déterminant $\lambda$. Le morphisme est donc surjectif.
- Signature : Pour le morphisme $\varepsilon: (\mathcal{S}_n, \circ) \to (\{-1, 1\}, \times)$ (pour $n \ge 2$), l’image est $\{-1, 1\}$ car il existe toujours des permutations paires et impaires. Le morphisme est surjectif.
- Exponentielle : Pour le morphisme $\exp: (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}^*, \times)$, l’image est l’ensemble des réels strictement positifs, $\mathbb{R}_+^*$. Comme $\text{Im}(\exp) \neq \mathbb{R}^*$, le morphisme n’est pas surjectif.