Définition de l’Intérieur d’une Partie
En topologie, l’intérieur d’une partie $A$ d’un espace topologique $X$ est, intuitivement, l’ensemble des points de $A$ qui ne sont pas « au bord » de $A$. C’est le plus grand ensemble ouvert contenu dans $A$. Cette notion est fondamentale pour caractériser les ouverts et comprendre la structure locale d’un ensemble.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et soit $A$ une partie de $X$ (c’est-à-dire $A \subseteq X$).
L’intérieur de $A$, noté $\text{Int}(A)$ ou $\mathring{A}$, est défini comme l’union de tous les ouverts de $\mathcal{T}$ qui sont inclus dans $A$. $$\mathring{A} = \bigcup_{O \in \mathcal{T}, O \subseteq A} O$$
L’intérieur d’une partie $A$ peut être caractérisé de plusieurs manières équivalentes :
- $\mathring{A}$ est le plus grand ouvert (au sens de l’inclusion) contenu dans $A$.
- Un point $x \in X$ appartient à $\mathring{A}$ si et seulement s’il existe un ouvert $O \in \mathcal{T}$ tel que $x \in O$ et $O \subseteq A$.
- Un point $x \in X$ appartient à $\mathring{A}$ si et seulement si $A$ est un voisinage de $x$.
- Une partie $A$ est un ouvert si et seulement si $A = \mathring{A}$.
- L’opération intérieur est idempotente : $\text{Int}(\text{Int}(A)) = \text{Int}(A)$.
Exemples Concrets dans $\mathbb{R}$
Considérons l’espace topologique $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle.
- Pour un intervalle fermé : Si $A = [0, 1]$, le plus grand ouvert contenu dans $A$ est l’intervalle ouvert $]0, 1[$. Donc, $\mathring{A} = ]0, 1[$. Les points $0$ et $1$ ne sont pas dans l’intérieur car tout ouvert qui les contient « dépasse » de l’intervalle $[0, 1]$.
- Pour l’ensemble des rationnels : Si $A = \mathbb{Q}$, alors $\mathring{A} = \emptyset$. En effet, tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient des nombres irrationnels. Il est donc impossible de trouver un ouvert non vide qui soit entièrement contenu dans $\mathbb{Q}$.
- Pour un ensemble fini : Si $A = \{1, 2, 3\}$, alors $\mathring{A} = \emptyset$ pour la même raison que pour $\mathbb{Q}$.