Définition des Extrema Locaux
L’un des objectifs principaux de l’analyse est l’optimisation : trouver les valeurs les plus grandes (maxima) et les plus petites (minima) qu’une fonction peut atteindre. On distingue les extrémums « globaux » (sur tout le domaine de définition) des extrémums « locaux » (valables uniquement dans un petit voisinage). La recherche d’extrémums locaux est la première étape de tout problème d’optimisation.
1. Définitions Formelles
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un ouvert $U$, et soit $a \in U$.
- On dit que $f$ admet un maximum local en $a$ s’il existe un voisinage ouvert $V$ de $a$ (inclus dans $U$) tel que : $$ \forall x \in V, \quad f(x) \le f(a) $$
- On dit que $f$ admet un minimum local en $a$ s’il existe un voisinage ouvert $V$ de $a$ tel que : $$ \forall x \in V, \quad f(x) \ge f(a) $$
- On parle d’extremum local pour désigner un maximum ou un minimum local.
- Si les inégalités sont strictes pour $x \neq a$, on parle d’extremum local strict.
Géométriquement, pour une fonction de deux variables, un maximum local est le sommet d’une « colline » sur la surface, et un minimum local est le fond d’une « cuvette ».
2. Condition Nécessaire du Premier Ordre : les Points Critiques
Comment trouver les candidats pour être des extrémums locaux ? Le calcul différentiel nous donne une condition nécessaire très puissante.
Si une fonction $f$ est différentiable sur un ouvert $U$ et si elle admet un extremum local en un point $a \in U$, alors son gradient en ce point est nul : $$ \nabla f(a) = \vec{0} $$
Interprétation géométrique : En un point d’extremum local, le plan tangent au graphe de la fonction doit être horizontal. Un plan horizontal a une pente nulle dans toutes les directions, ce qui signifie que toutes les dérivées partielles sont nulles, et donc que le gradient est le vecteur nul.
Ce théorème nous amène à définir les points qui sont les seuls candidats possibles aux extrémums locaux.
Un point $a$ du domaine de définition de $f$ est un point critique de $f$ si le gradient de $f$ est nul en ce point, ou si $f$ n’est pas différentiable en $a$. Pour les fonctions régulières, cela se résume à : $$ \nabla f(a) = \vec{0} $$ Cela revient à résoudre le système de $p$ équations à $p$ inconnues : $$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) = 0, \quad \dots, \quad \frac{\partial f}{\partial x_p}(a) = 0 $$
3. L’Avertissement Fondamental : Point Critique $\neq$ Extremum
La condition « gradient nul » est nécessaire mais pas suffisante. Un point critique n’est pas forcément un extremum local.
Un point critique qui n’est ni un maximum local ni un minimum local est appelé un point selle (ou point col).
Exemple Classique de Point Selle
Considérons la fonction $f(x,y) = x^2 – y^2$.
- Recherche des points critiques : $$ \nabla f(x,y) = (2x, -2y) $$ $\nabla f(x,y) = (0,0)$ si et seulement si $x=0$ et $y=0$. L’origine $(0,0)$ est l’unique point critique.
- Nature du point critique : $f(0,0)=0$.
- Si l’on s’approche de l’origine le long de l’axe des $x$ (avec $y=0$), on a $f(x,0)=x^2 > 0$. La fonction se comporte comme un minimum.
- Si l’on s’approche de l’origine le long de l’axe des $y$ (avec $x=0$), on a $f(0,y)=-y^2 < 0$. La fonction se comporte comme un maximum.
Pour déterminer la nature d’un point critique, il faut une analyse plus poussée qui fait appel aux dérivées secondes : c’est le « test de la dérivée seconde » utilisant la matrice Hessienne.