Voisinage d’un Point
La notion de voisinage est centrale en topologie. Elle permet de formaliser l’idée intuitive d’être « proche » ou « autour » d’un point. Un ensemble est un voisinage d’un point s’il contient un ouvert qui entoure ce point.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et soit $x \in X$. Un sous-ensemble $V$ de $X$ est appelé un voisinage du point $x$ s’il existe un ensemble ouvert $O \in \mathcal{T}$ tel que : $$ x \in O \subseteq V $$ On note $\mathcal{V}(x)$ l’ensemble de tous les voisinages du point $x$.
Exemple dans $\mathbb{R}$
Dans $\mathbb{R}$ avec sa topologie usuelle :
- L’intervalle $[-1, 2]$ est un voisinage de $0$, car il contient l’ouvert $]-1, 1[$ et $0 \in \left]-1, 1\right[$.
- L’ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels n’est un voisinage d’aucun de ses points, car il ne contient aucun intervalle ouvert non vide.
- L’intervalle $[0, 1]$ n’est pas un voisinage de $0$, car aucun ouvert contenant $0$ (par exemple de la forme $]-\epsilon, \epsilon[$) n’est inclus dans $[0, 1]$.
Un sous-ensemble $O$ de $X$ est un ouvert si et seulement s’il est voisinage de chacun de ses points.
Cette proposition est très importante car elle offre une manière alternative de penser la topologie : au lieu de définir les ouverts en premier, on pourrait définir les voisinages pour chaque point (en respectant certains axiomes) et en déduire ensuite quels ensembles sont des ouverts.