Définition d’un Espace Complet
La notion de complétude est une propriété cruciale pour un espace métrique. Elle garantit que l’espace n’a pas de « trous ». Intuitivement, dans un espace complet, toute suite dont les termes se resserrent (une suite de Cauchy) doit nécessairement converger vers un point qui se trouve à l’intérieur de l’espace.
Un espace métrique $(X, d)$ est dit complet si toute suite de Cauchy d’éléments de $X$ est convergente dans $X$.
Autrement dit, si $(x_n)$ est une suite de Cauchy, alors il existe un élément $l \in X$ tel que : $$ \lim_{n \to \infty} x_n = l $$
Rappelons que si une suite converge, elle est forcément de Cauchy. La complétude est donc la réciproque de cette propriété. Les espaces complets sont ceux où les notions de « suite de Cauchy » et de « suite convergente » sont équivalentes.
Exemples Fondamentaux
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Espaces Complets :
- L’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle est complet. C’est sa propriété de construction fondamentale.
- Les espaces $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{C}^n$ munis de la distance euclidienne sont complets.
- Tout sous-ensemble fermé d’un espace complet est lui-même complet. Par exemple, l’intervalle $[a, b]$ est complet.
- Les espaces de Banach, très importants en analyse fonctionnelle, sont par définition des espaces vectoriels normés complets.
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Espaces Non Complets :
- L’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ n’est pas complet. La suite des approximations décimales de $\sqrt{2}$ est de Cauchy dans $\mathbb{Q}$ mais sa limite n’est pas dans $\mathbb{Q}$.
- L’intervalle ouvert $]0, 1]$ n’est pas complet. La suite $(1/n)_{n \ge 1}$ est de Cauchy, mais sa limite (0) n’appartient pas à l’intervalle.