Définition d’un Espace Connexe
La notion de connexité formalise l’idée intuitive d’un espace « d’un seul tenant », sans « coupure » ou « séparation » en plusieurs morceaux. C’est l’une des propriétés topologiques les plus fondamentales, avec des applications importantes comme le théorème des valeurs intermédiaires.
Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit non connexe (ou disconnexe) s’il peut s’écrire comme l’union de deux parties ouvertes, non vides et disjointes.
C’est-à-dire, il existe deux ouverts $U$ et $V$ de $X$ tels que :
- $U \neq \emptyset$ et $V \neq \emptyset$
- $U \cap V = \emptyset$
- $X = U \cup V$
Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit connexe s’il n’est pas non connexe.
Un espace topologique $X$ est connexe si et seulement si les seules parties de $X$ qui sont à la fois ouvertes et fermées (on les appelle « clopen » en anglais) sont l’ensemble vide ($\emptyset$) et l’espace tout entier ($X$).
Exemples et Contre-exemples
- $\mathbb{R}$ est connexe. C’est le résultat de base. On admet que les seuls « clopen » de $\mathbb{R}$ sont $\emptyset$ et $\mathbb{R}$.
- Un intervalle de $\mathbb{R}$ est connexe. C’est une propriété fondamentale des réels.
- L’ensemble $X = [0, 1] \cup [2, 3]$ n’est pas connexe. On peut l’écrire comme l’union des ouverts (relatifs) $U = [0, 1]$ et $V = [2, 3]$, qui sont non vides et disjoints.
- L’ensemble $\mathbb{Q}$ n’est pas connexe. Par exemple, l’ensemble $A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x < \sqrt{2}\}$ est à la fois ouvert et fermé dans $\mathbb{Q}$, mais ce n'est ni $\emptyset$ ni $\mathbb{Q}$ tout entier.