Définition d’un Espace Séparé (de Hausdorff)
La notion de séparation, aussi appelée propriété de Hausdorff, est l’une des propriétés les plus fondamentales et les plus souhaitables en topologie. Elle formalise l’idée intuitive que des points distincts peuvent être « isolés » les uns des autres par des voisinages qui ne se chevauchent pas. La plupart des espaces usuels en analyse (comme $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^n$) possèdent cette propriété.
Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit séparé ou de Hausdorff (ou T2) si pour toute paire de points distincts $x, y \in X$ (avec $x \neq y$), il existe un voisinage $U$ de $x$ et un voisinage $V$ de $y$ qui sont disjoints.
$$ \forall x, y \in X, \ x \neq y \implies \exists U \in \mathcal{V}(x), \exists V \in \mathcal{V}(y) \text{ tels que } U \cap V = \emptyset $$
Interprétation Intuitive
Imaginez deux points distincts dans l’espace. La propriété de Hausdorff garantit que l’on peut toujours tracer une « bulle » (un voisinage) autour de chaque point de telle sorte que ces deux bulles ne se touchent jamais. Cela empêche des situations pathologiques où deux points seraient « collés » l’un à l’autre de manière indiscernable par la topologie.
Dans un espace topologique séparé, toute suite convergente admet une limite unique.
Cette propriété est cruciale. Si un espace n’est pas séparé, une suite pourrait converger vers plusieurs points différents, ce qui rendrait la notion de limite beaucoup moins utile.
Exemples
- $\mathbb{R}$ muni de sa topologie usuelle est séparé. Si $x \neq y$, on peut prendre par exemple les voisinages ouverts $U = ]x-\epsilon, x+\epsilon[$ et $V = ]y-\epsilon, y+\epsilon[$. Si on choisit $\epsilon = \frac{|y-x|}{2}$, ces deux intervalles sont disjoints.
- Tout espace métrique est séparé. La preuve est similaire à celle pour $\mathbb{R}$, en utilisant des boules ouvertes de rayon bien choisi.
- Contre-exemple : La topologie grossière. Soit $X = \{a, b\}$ avec la topologie grossière $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$. Le seul voisinage de $a$ est $X$ et le seul voisinage de $b$ est $X$. Il est impossible de trouver deux voisinages disjoints pour $a$ et $b$. Cet espace n’est donc pas séparé.