Introduction à la Notion de Topologie
En mathématiques, la notion d’espace topologique est une généralisation de celle d’espace métrique. L’idée est de définir une structure sur un ensemble qui permet de parler de concepts tels que la continuité, la limite et le voisinage, sans pour autant avoir besoin de définir une « distance » entre les points.
Pour ce faire, on ne se concentre plus sur la distance, mais sur la collection des sous-ensembles que l’on décide de qualifier d’« ouverts ». Ces ouverts doivent respecter un certain nombre de règles (axiomes) qui garantissent la cohérence de la structure.
Soit $X$ un ensemble non vide. On appelle topologie sur $X$ une collection $\mathcal{T}$ de sous-ensembles de $X$, appelés les ouverts de $X$, vérifiant les trois axiomes suivants :
- L’ensemble vide $\emptyset$ et l’ensemble $X$ tout entier appartiennent à $\mathcal{T}$.
$$ \emptyset \in \mathcal{T} \quad \text{et} \quad X \in \mathcal{T} $$ - Toute réunion (finie ou infinie) d’ouverts est un ouvert.
Si $(O_i)_{i \in I}$ est une famille d’éléments de $\mathcal{T}$, alors $\bigcup_{i \in I} O_i \in \mathcal{T}$. - Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Si $O_1, O_2, \dots, O_n$ sont des éléments de $\mathcal{T}$, alors $\bigcap_{i=1}^n O_i \in \mathcal{T}$.
Le couple $(X, \mathcal{T})$ est alors appelé un espace topologique.
Exemples Fondamentaux
Exemple 1 : La Topologie Discrète
Sur n’importe quel ensemble non vide $X$, on peut définir la topologie où tous les sous-ensembles de $X$ sont des ouverts. La collection $\mathcal{T}$ est alors l’ensemble des parties de $X$, noté $\mathcal{P}(X)$. C’est la topologie la plus « riche » (ou la plus « fine ») que l’on puisse définir sur $X$.
Exemple 2 : La Topologie Grossière
À l’opposé, la topologie la plus « pauvre » (ou la plus « grossière ») est celle qui contient le moins d’ouverts possible. Pour tout ensemble $X$, la collection $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$ est une topologie. Elle ne contient que l’ensemble vide et $X$ lui-même comme ouverts.
Exemple 3 : La Topologie Usuelle sur $\mathbb{R}$
C’est la topologie la plus intuitive sur l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$. Un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ est un ouvert pour cette topologie s’il peut s’écrire comme une réunion (quelconque) d’intervalles ouverts de la forme $]a, b[$. Par exemple, $]0, 1[ \cup ]2, 3[$ est un ouvert.
Sur un même ensemble $X$, on peut définir plusieurs topologies différentes. Si $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$ sont deux topologies sur $X$ telles que $\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2$, on dit que la topologie $\mathcal{T}_2$ est plus fine que $\mathcal{T}_1$ (elle possède plus d’ouverts), et que $\mathcal{T}_1$ est moins fine (ou plus grossière) que $\mathcal{T}_2$.
Par exemple, la topologie discrète est la plus fine de toutes les topologies possibles sur un ensemble $X$.