Définition d’un Groupe Cyclique
Les groupes cycliques sont les groupes les plus simples à décrire. Ils sont « engendrés » par un seul élément, ce qui signifie que tous les autres éléments du groupe peuvent être obtenus en composant cet unique élément (ou son symétrique) avec lui-même un certain nombre de fois.
Un groupe $(G, \star)$ est dit cyclique s’il existe un élément $a \in G$ tel que tout élément de $G$ peut s’écrire comme une puissance de $a$ (en notation multiplicative) ou un multiple de $a$ (en notation additive).
Cet élément $a$ est appelé un générateur du groupe, et on note $G = \langle a \rangle$.
En notation multiplicative : $G = \langle a \rangle = \{ a^k \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
En notation additive : $G = \langle a \rangle = \{ k \cdot a \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
- Tout groupe cyclique est abélien (commutatif).
- Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.
- Un groupe cyclique d’ordre $n$ est isomorphe au groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$.
- Un groupe cyclique d’ordre infini est isomorphe au groupe $(\mathbb{Z}, +)$.
Exemples
- Le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ est cyclique. Il est d’ordre infini. Il peut être engendré par 1 (car tout entier est une somme de 1) ou par -1. Ce sont ses seuls générateurs.
- Le groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ est cyclique. Il est d’ordre fini $n$. Un de ses générateurs est la classe $\bar{1}$. Les autres générateurs sont les classes $\bar{k}$ où $k$ est premier avec $n$.
- Le groupe des racines n-ièmes de l’unité $(\mathbb{U}_n, \times)$ : C’est un groupe cyclique d’ordre $n$. Un générateur est $e^{2i\pi/n}$.
- Contre-exemple : Le groupe de Klein $V \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ n’est pas cyclique. Il a 4 éléments, mais tous ses éléments (sauf le neutre) sont d’ordre 2. Aucun élément ne peut engendrer le groupe entier.